Нужно определить координаты центра тяжести фигуры

Предмет: Механика
Раздел: Статика, Центр тяжести плоской фигуры

Дана плоская фигура, состоящая из прямоугольника и полукруга. Нужно определить координаты центра тяжести фигуры.

Дано:

 \begin{cases} a = 20 \, \text{см} \ b = 70 \, \text{см} \ r = 90 \, \text{см} \end{cases} 

Шаг 1: Разбиение фигуры на простые части

Фигура состоит из:

1. Прямоугольника с размерами b \times 2r (ширина b, высота 2r)
2. Треугольника с основанием a и высотой 2r
3. Полукруга радиуса r

Шаг 2: Определение площадей частей

• Площадь прямоугольника:

 S_1 = b \times 2r = 70 \times 2 \times 90 = 12600 \, \text{см}^2 

• Площадь треугольника:

 S_2 = \frac{1}{2} \times a \times 2r = \frac{1}{2} \times 20 \times 180 = 1800 \, \text{см}^2 

• Площадь полукруга:

 S_3 = \frac{1}{2} \pi r^2 = \frac{1}{2} \times 3.14 \times 90^2 = 12717 \, \text{см}^2 

Шаг 3: Определение координат центров тяжести частей

Выберем начало координат в левом нижнем углу фигуры.

• Центр тяжести прямоугольника:

 x_1 = b + a = 70 + 20 = 90 \, \text{см} \ y_1 = r = 90 \, \text{см} 

• Центр тяжести треугольника (центр масс равнобедренного треугольника по горизонтали на расстоянии \frac{a}{3} от основания):

 x_2 = \frac{a}{3} = \frac{20}{3} \approx 6.67 \, \text{см} \ y_2 = r = 90 \, \text{см} 

• Центр тяжести полукруга (центр окружности):

 x_3 = r = 90 \, \text{см} \ y_3 = r = 90 \, \text{см} 

Шаг 4: Определение координат центра тяжести всей фигуры

Общая площадь:

 S = S_1 + S_2 + S_3 = 12600 + 1800 + 12717 = 27117 \, \text{см}^2 

Координаты центра тяжести:

 x_c = \frac{S_1 x_1 + S_2 x_2 + S_3 x_3}{S} = \frac{12600 \times 90 + 1800 \times 6.67 + 12717 \times 90}{27117} 

Считаем числитель:

 12600 \times 90 = 1,134,000 \ 1800 \times 6.67 \approx 12,006 \ 12717 \times 90 = 1,144,530 \ \text{Сумма} = 1,134,000 + 12,006 + 1,144,530 = 2,290,536 

Теперь:

 x_c = \frac{2,290,536}{27,117} \approx 84.5 \, \text{см} 

Для y_c все центры по высоте находятся на r = 90 см, значит:

 y_c = 90 \, \text{см} 

Ответ:

Координаты центра тяжести фигуры:

 (x_c, y_c) \approx (84.5 \, \text{см}, 90 \, \text{см}) 

Отметка центра тяжести на рисунке:

Центр тяжести расположен примерно на высоте 90 \, \text{см} и на расстоянии 84.5 \, \text{см} от левого края фигуры. На рисунке отметьте точку в этих координатах.