Найти центр тяжести однородного плоского сечения, границы которого заданы уравнением

Предмет: Теоретическая механика (статистика и динамика объектов).

Раздел: Определение центра тяжести произвольной фигуры.

Условие задачи:

Требуется найти центр тяжести однородного плоского сечения \( L \), границы которого заданы уравнением: \[ L = \left\{(x, y) : x^3 + y^3 = a^3, y \geq 0, x \geq 0 \right\}. \]

Это уравнение описывает одну четверть кубического эллипса. \( x \geq 0 \) и \( y \geq 0 \) указывают на то, что объект находится в первой четверти координатной плоскости.

Шаг 1. Общие формулы для нахождения центра тяжести.

Центр тяжести фигуры — это точка с координатами \( (x_c, y_c) \), которые находятся по формулам:

\[ x_c = \frac{1}{S} \int\int_{L} x \, dA, \]

\[ y_c = \frac{1}{S} \int\int_{L} y \, dA, \]

где \( S \) — площадь фигуры, \( dA \) — малый элемент площади.

1.1 Определение площади \( S \).

Площадь фигуры определяется по интегралу:

\[ S = \int\int_L dA. \]

Переходя к полярным координатам с преобразованием,

\[ x = r \cos\theta,\quad y = r \sin\theta, \]

где \( r \) — радиус, \( \theta \) — угол, можно попытаться упростить расчёты для нахождения площади, однако для конкретной формы (кубическая четверть эллипса) процедура достаточно сложная.