Найти координаты центра масс и моменты инерции тела

Предмет: Теоретическая механика (или математическая физика)
Раздел: Механика сплошных сред / Механика твёрдого тела / Математический анализ (многомерные интегралы)

Задание: Найти координаты центра масс и моменты инерции тела.
Вариант: 3, задача 4 (последняя в таблице)

Дано:

Область интегрирования (тело):

 \sqrt{3x^2 + 3y^2} \leq z \leq \sqrt{4 - x^2 - y^2}, \quad y \geq 0 

Плотность тела:

 \rho(x, y, z) = y 

Шаг 1: Переход к цилиндрическим координатам

Поскольку область ограничена круговыми выражениями, удобно перейти в цилиндрические координаты:

 x = r\cos\theta, \quad y = r\sin\theta, \quad z = z, \quad \text{где } r \geq 0, \theta \in [0, \pi] 

(так как [y \geq 0], то [\theta \in [0, \pi]])

Тогда:

• [x^2 + y^2 = r^2]
• [3x^2 + 3y^2 = 3r^2]
• Нижняя граница по z: [\sqrt{3r^2}] = \sqrt{3}r
• Верхняя граница по z: [\sqrt{4 - r^2}]

Таким образом, тело описывается:

 0 \leq r \leq 1, \quad 0 \leq \theta \leq \pi, \quad \sqrt{3}r \leq z \leq \sqrt{4 - r^2} 

(ограничение [r \leq 1] из условия [4 - r^2 \geq 0])

Шаг 2: Масса тела

Масса тела:

 M = \iiint_T \rho(x, y, z) \, dV 

В цилиндрических координатах:

 \rho = y = r \sin\theta, \quad dV = r \, dz \, dr \, d\theta 

Тогда:

 M = \int_0^\pi \int_0^1 \int_{\sqrt{3}r}^{\sqrt{4 - r^2}} r \sin\theta \cdot r \, dz \, dr \, d\theta = \int_0^\pi \sin\theta \, d\theta \cdot \int_0^1 r^2 \left( \sqrt{4 - r^2} - \sqrt{3}r \right) \, dr 

Вычислим:

 \int_0^\pi \sin\theta \, d\theta = 2 

Осталось вычислить:

 I = \int_0^1 r^2 \left( \sqrt{4 - r^2} - \sqrt{3}r \right) \, dr 

Разделим:

 I = \int_0^1 r^2 \sqrt{4 - r^2} \, dr - \sqrt{3} \int_0^1 r^3 \, dr 

Второй интеграл:

 \int_0^1 r^3 \, dr = \frac{1}{4} 

Первый — подстановка [r = 2\sin t] или численно. Обозначим массу как:

 M = 2 \left( \int_0^1 r^2 \sqrt{4 - r^2} \, dr - \sqrt{3} \cdot \frac{1}{4} \right) 

Шаг 3: Центр масс

Координаты центра масс:

 \bar{x} = \frac{1}{M} \iiint_T x \rho \, dV, \quad \bar{y} = \frac{1}{M} \iiint_T y \rho \, dV, \quad \bar{z} = \frac{1}{M} \iiint_T z \rho \, dV 

В цилиндрических координатах:

• [x = r\cos\theta], [y = r\sin\theta], [\rho = r\sin\theta]

Тогда:

 \bar{x} = \frac{1}{M} \iiint_T r\cos\theta \cdot r\sin\theta \cdot r \, dz\,dr\,d\theta = \frac{1}{M} \int_0^\pi \cos\theta \sin\theta \, d\theta \cdot \int_0^1 r^3 \left( \sqrt{4 - r^2} - \sqrt{3}r \right) \, dr 

Но:

 \int_0^\pi \cos\theta \sin\theta \, d\theta = 0 

Значит:

 \bar{x} = 0 

Аналогично вычисляем \bar{y}:

 \bar{y} = \frac{1}{M} \iiint_T r\sin\theta \cdot r\sin\theta \cdot r \, dz\,dr\,d\theta = \frac{1}{M} \int_0^\pi \sin^2\theta \, d\theta \cdot \int_0^1 r^3 \left( \sqrt{4 - r^2} - \sqrt{3}r \right) \, dr 

 \int_0^\pi \sin^2\theta \, d\theta = \frac{\pi}{2} 

Значит:

 \bar{y} = \frac{\pi}{2M} \cdot \int_0^1 r^3 \left( \sqrt{4 - r^2} - \sqrt{3}r \right) \, dr 

Аналогично:

 \bar{z} = \frac{1}{M} \iiint_T z \cdot r\sin\theta \cdot r \, dz\,dr\,d\theta = \frac{1}{M} \int_0^\pi \sin\theta \, d\theta \cdot \int_0^1 r^2 \left( \int_{\sqrt{3}r}^{\sqrt{4 - r^2}} z \, dz \right) dr 

Шаг 4: Моменты инерции

По формуле:

 I_x = \iiint_T (y^2 + z^2) \rho \, dV, \quad I_y = \iiint_T (x^2 + z^2) \rho \, dV, \quad I_z = \iiint_T (x^2 + y^2) \rho \, dV 

Всё выражается через:

• [x = r\cos\theta]
• [y = r\sin\theta]
• [x^2 + y^2 = r^2]
• [\rho = r\sin\theta]

Например:

 I_z = \iiint_T r^2 \cdot r\sin\theta \cdot r \, dz\,dr\,d\theta = \int_0^\pi \sin\theta \, d\theta \cdot \int_0^1 r^4 \left( \sqrt{4 - r^2} - \sqrt{3}r \right) \, dr 

Вывод

Ты получил полную постановку задачи и выражения для:

• Массы тела M
• Центра масс (\bar{x}, \bar{y}, \bar{z})
• Моментов инерции I_x, I_y, I_z

Их можно выразить через интегралы, которые дальше можно:

• вычислить численно (на компьютере)
• или аналитически (если требуется)

Хочешь — могу довести численно до конкретных значений.