Найти усилия в стержнях фермы методом вырезания узлов

Определение предмета и раздела

Предмет: Сопротивление материалов (Строительная механика)
Раздел: Расчет ферм (Метод вырезания узлов)

Решение

1. Определение опорных реакций

Ферма имеет шарнирно-неподвижную опору в точке A и шарнирно-подвижную опору в точке B. Для определения реакций используем уравнения статики:

• Уравнение равновесия моментов относительно точки A:

  \sum M_A = 0

  R_B \cdot (3 \times 0.75) - F_1 \cdot 0.75 \cdot \cos 30^\circ - F_2 \cdot (2 \times 0.75) - F_3 \cdot (3 \times 0.75) = 0

  Подставляем значения сил:

  R_B \cdot 2.25 - 1 \cdot 0.75 \cdot \cos 30^\circ - 2 \cdot 1.5 - 3 \cdot 2.25 = 0

  R_B \cdot 2.25 = 0.75 \cdot 0.866 + 3 + 6.75

  R_B \cdot 2.25 = 10.395

  R_B = \frac{10.395}{2.25} = 4.62 \text{ кН}

• Уравнение равновесия сил по вертикали:

  R_A + R_B = F_1 \cdot \sin 30^\circ + F_2 + F_3

  R_A + 4.62 = 1 \cdot 0.5 + 2 + 3

  R_A + 4.62 = 5.5

  R_A = 0.88 \text{ кН}

2. Вырезание узлов и определение усилий в стержнях

Рассмотрим узел A. В этом узле сходятся три силы:

• Реакция R_A = 0.88 кН (вертикально вверх)
• Стержень AC (наклонный)
• Стержень AB (горизонтальный)

Запишем уравнения равновесия:

• По горизонтали:

  N_{AB} + N_{AC} \cdot \cos 30^\circ = F_1 \cdot \cos 30^\circ

  N_{AB} + N_{AC} \cdot 0.866 = 1 \cdot 0.866

  N_{AB} + 0.866 N_{AC} = 0.866

• По вертикали:

  N_{AC} \cdot \sin 30^\circ = R_A + F_1 \cdot \sin 30^\circ

  0.5 N_{AC} = 0.88 + 0.5

  N_{AC} = \frac{1.38}{0.5} = 2.76 \text{ кН}

Подставляем в уравнение по горизонтали:

N_{AB} + 0.866 \cdot 2.76 = 0.866

N_{AB} + 2.39 = 0.866

N_{AB} = -1.524 \text{ кН}

Отрицательный знак означает, что стержень AB работает на сжатие.

Аналогично можно рассчитать усилия в других стержнях, анализируя равновесие узлов B, C и так далее.

Если требуется полный расчет всех стержней, уточните, и я продолжу вычисления!