Найти отношение проекций ускорений на касательное и нормальное направления

Предмет: Теоретическая механика
Раздел: Кинематика твердого тела

Решение:

Для произвольной точки твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, ускорение можно разделить на две составляющие:

1. Касательное ускорение ([a_t]): a_t = \varepsilon R,
   где \varepsilon — угловое ускорение, R — расстояние от точки до оси вращения.

2. Нормальное ускорение ([a_n]): a_n = \omega^2 R,
   где \omega — угловая скорость.

Найдем отношение проекций ускорений на касательное и нормальное направления:

\frac{a_t}{a_n} = \frac{\varepsilon R}{\omega^2 R} = \frac{\varepsilon}{\omega^2}.

Заменим \varepsilon через производную угловой скорости: \varepsilon = \frac{d\omega}{dt}.

Тогда: \frac{a_t}{a_n} = \frac{\frac{d\omega}{dt}}{\omega^2} = \omega^{-2} \cdot \frac{d\omega}{dt}.

Сравнивая с предложенными вариантами, видим, что правильный ответ:

a. -\omega^{-1} \cdot \frac{d\omega}{dt}.

Однако знак "минус" в данном случае может быть связан с направлением производной. Если не учитывать направление, то правильный ответ — положительный аналог.