Сделать рисунки для скорости и ускорения точки

Предмет: Теоретическая механика
Раздел: Кинематика точки (определение скорости и ускорения по уравнениям движения)

Дано:

 \begin{cases} x(t) = 2 \sin\left(\frac{\pi t}{3}\right), \ y(t) = -3 \cos\left(\frac{\pi t}{3}\right) + 4, \end{cases} \quad t \text{ в секундах} 

1. Найдем скорость точки

Скорость — это первая производная координат по времени:

 v_x = \frac{dx}{dt}, \quad v_y = \frac{dy}{dt} 

Вычислим производные:

 v_x = \frac{d}{dt} \left( 2 \sin\left(\frac{\pi t}{3}\right) \right) = 2 \cdot \cos\left(\frac{\pi t}{3}\right) \cdot \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3} \cos\left(\frac{\pi t}{3}\right) 

 v_y = \frac{d}{dt} \left( -3 \cos\left(\frac{\pi t}{3}\right) + 4 \right) = -3 \cdot \left(-\sin\left(\frac{\pi t}{3}\right)\right) \cdot \frac{\pi}{3} = \pi \sin\left(\frac{\pi t}{3}\right) 

Скорость в векторной форме:

 \vec{v}(t) = \left( \frac{2\pi}{3} \cos\left(\frac{\pi t}{3}\right), \quad \pi \sin\left(\frac{\pi t}{3}\right) \right) 

Модуль скорости:

 v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} = \sqrt{\left(\frac{2\pi}{3}\right)^2 \cos^2\left(\frac{\pi t}{3}\right) + \pi^2 \sin^2\left(\frac{\pi t}{3}\right)} = \pi \sqrt{\frac{4}{9} \cos^2\left(\frac{\pi t}{3}\right) + \sin^2\left(\frac{\pi t}{3}\right)} 

2. Найдем ускорение точки

Ускорение — это вторая производная координат по времени:

 a_x = \frac{d v_x}{dt}, \quad a_y = \frac{d v_y}{dt} 

Вычислим:

 a_x = \frac{d}{dt} \left( \frac{2\pi}{3} \cos\left(\frac{\pi t}{3}\right) \right) = \frac{2\pi}{3} \cdot \left(-\sin\left(\frac{\pi t}{3}\right)\right) \cdot \frac{\pi}{3} = -\frac{2\pi^2}{9} \sin\left(\frac{\pi t}{3}\right) 

 a_y = \frac{d}{dt} \left( \pi \sin\left(\frac{\pi t}{3}\right) \right) = \pi \cdot \cos\left(\frac{\pi t}{3}\right) \cdot \frac{\pi}{3} = \frac{\pi^2}{3} \cos\left(\frac{\pi t}{3}\right) 

Ускорение в векторной форме:

 \vec{a}(t) = \left( -\frac{2\pi^2}{9} \sin\left(\frac{\pi t}{3}\right), \quad \frac{\pi^2}{3} \cos\left(\frac{\pi t}{3}\right) \right) 

Модуль ускорения:

 a = \sqrt{a_x^2 + a_y^2} = \sqrt{\left(-\frac{2\pi^2}{9}\right)^2 \sin^2\left(\frac{\pi t}{3}\right) + \left(\frac{\pi^2}{3}\right)^2 \cos^2\left(\frac{\pi t}{3}\right)} = \pi^2 \sqrt{\frac{4}{81} \sin^2\left(\frac{\pi t}{3}\right) + \frac{1}{9} \cos^2\left(\frac{\pi t}{3}\right)} 

3. Определение траектории точки

Имеем:

 x = 2 \sin\left(\frac{\pi t}{3}\right), \quad y = -3 \cos\left(\frac{\pi t}{3}\right) + 4 

Обозначим:

 \theta = \frac{\pi t}{3} 

Тогда:

 \sin \theta = \frac{x}{2}, \quad \cos \theta = \frac{4 - y}{3} 

Используем основное тригонометрическое тождество:

 \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1 

Подставим:

 \left(\frac{x}{2}\right)^2 + \left(\frac{4 - y}{3}\right)^2 = 1 

Или:

 \frac{x^2}{4} + \frac{(4 - y)^2}{9} = 1 

Это уравнение эллипса, по которому движется точка.

4. Рисунки

• Рисунок траектории — эллипс с центром в точке (0,4), полуосями 2 по оси x и 3 по оси y.
• В каждой точке траектории можно изобразить вектор скорости \vec{v} (касательный к траектории) и вектор ускорения \vec{a} (направленный, в общем случае, не совпадает с направлением скорости).

Если нужно, могу помочь с построением этих рисунков.

Если подытожить:

• Скорость точки:
   \vec{v}(t) = \left( \frac{2\pi}{3} \cos\left(\frac{\pi t}{3}\right), \quad \pi \sin\left(\frac{\pi t}{3}\right) \right) 

• Ускорение точки:
   \vec{a}(t) = \left( -\frac{2\pi^2}{9} \sin\left(\frac{\pi t}{3}\right), \quad \frac{\pi^2}{3} \cos\left(\frac{\pi t}{3}\right) \right) 

• Траектория — эллипс:
   \frac{x^2}{4} + \frac{(4 - y)^2}{9} = 1