Найти правильную формулу при произвольном плоском движении материальной точки ускорение

Предмет: Теоретическая механика
Раздел: Кинематика материальной точки

Решение:

При произвольном плоском движении материальной точки ускорение можно разделить на две составляющие:

1. Тангенциальное ускорение ((a_{\text{tan}})), связанное с изменением скорости по величине.
2. Нормальное ускорение ((a_{\text{n}})), связанное с изменением направления скорости.

Полное ускорение (a) определяется как геометрическая сумма этих составляющих:

a = \sqrt{a_{\text{tan}}^2 + a_{\text{n}}^2}

Формулы для ускорений:

1. Тангенциальное ускорение: a_{\text{tan}} = \frac{d\upsilon}{dt},
   где (\upsilon) — скорость точки.

2. Нормальное ускорение: a_{\text{n}} = \frac{\upsilon^2}{R},
   где (R) — радиус кривизны траектории.

Полное ускорение:

Подставим выражения для (a{\text{tan}}) и (a{\text{n}}) в формулу полного ускорения:

a = \sqrt{\left(\frac{d\upsilon}{dt}\right)^2 + \left(\frac{\upsilon^2}{R}\right)^2}

Сравнение с вариантами ответа:

Рассмотрим предложенные варианты:

• Вариант b: \sqrt{\left(\frac{d\upsilon}{dt}\right)^2 + \upsilon^4 R^2}.
  Здесь ошибка в нормальном ускорении: вместо (\frac{\upsilon^2}{R}) используется (\upsilon^4 R^2), что неверно.

• Вариант a: \sqrt{\frac{d\upsilon}{dt} + \upsilon^2 R}.
  Здесь ошибка в структуре формулы: отсутствует возведение в квадрат для составляющих ускорения.

• Вариант c: \frac{d\upsilon}{dt}.
  Здесь указано только тангенциальное ускорение, что неполно.

• Вариант d: \upsilon^2 R + \frac{d\upsilon}{dt}.
  Здесь указана сумма, а не геометрическая сумма, что неверно.

• Вариант e: \frac{d\upsilon}{dt}.
  Это снова только тангенциальное ускорение.

Верного ответа среди предложенных нет.

Правильная формула:
\sqrt{\left(\frac{d\upsilon}{dt}\right)^2 + \left(\frac{\upsilon^2}{R}\right)^2}.