Построить горизонтальную проекцию точки К, принадлежащей плоскости треугольника АВС

Предмет: Начертательная геометрия

Раздел: Построение проекций и задание плоскости

Задача А: Построить горизонтальную проекцию точки ( K ), принадлежащей плоскости треугольника ( ABC ).

Дано:
Координаты точек:
( A(0, 70, 25) ), ( B(45, 10, 70) ), ( C(90, 30, 20) ), ( K(65, ?, 70) ).

Решение:

Для нахождения горизонтальной проекции ( K ), нужно определить её координату ( y ), так как ( x ) и ( z ) уже известны. Точка ( K ) принадлежит плоскости треугольника ( ABC ), поэтому её координаты должны удовлетворять уравнению плоскости, заданной точками ( A ), ( B ), ( C ).

1. Найдем уравнение плоскости ( ABC ):
   Уравнение плоскости записывается в виде:
   Ax + By + Cz + D = 0,
   где ( A, B, C ) — коэффициенты, определяемые нормальным вектором плоскости, а ( D ) — свободный член.

Для нахождения нормального вектора плоскости используем векторное произведение векторов ( \overrightarrow{AB} ) и ( \overrightarrow{AC} ):
\overrightarrow{AB} = (45 - 0, 10 - 70, 70 - 25) = (45, -60, 45),
\overrightarrow{AC} = (90 - 0, 30 - 70, 20 - 25) = (90, -40, -5).

Вычислим векторное произведение:
\overrightarrow{n} = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}.
Формула для компоненты векторного произведения:
 \overrightarrow{n} = \begin{vmatrix} i & j & k \ 45 & -60 & 45 \ 90 & -40 & -5 \ \end{vmatrix} .

Разложим:
 \overrightarrow{n} = i \cdot \begin{vmatrix} -60 & 45 \ -40 & -5 \ \end{vmatrix} - j \cdot \begin{vmatrix} 45 & 45 \ 90 & -5 \ \end{vmatrix} + k \cdot \begin{vmatrix} 45 & -60 \ 90 & -40 \ \end{vmatrix}. 

Вычислим:
 \overrightarrow{n} = i \cdot (-60 \cdot -5 - 45 \cdot -40) - j \cdot (45 \cdot -5 - 45 \cdot 90) + k \cdot (45 \cdot -40 - (-60) \cdot 90). 
 \overrightarrow{n} = i \cdot (300 + 1800) - j \cdot (-225 - 4050) + k \cdot (-1800 + 5400). 
 \overrightarrow{n} = i \cdot 2100 - j \cdot (-4275) + k \cdot 3600. 
 \overrightarrow{n} = (2100, 4275, 3600). 

Таким образом, уравнение плоскости:
2100x + 4275y + 3600z + D = 0.

2. Подставим координаты точки ( A(0, 70, 25) ), чтобы найти ( D ):
   2100 \cdot 0 + 4275 \cdot 70 + 3600 \cdot 25 + D = 0.
   4275 \cdot 70 = 299250,
   3600 \cdot 25 = 90000,
   299250 + 90000 + D = 0,
   D = -389250.

Уравнение плоскости:
2100x + 4275y + 3600z - 389250 = 0.

3. Найдем ( y ) для точки ( K(65, y, 70) ):
   Подставляем ( x = 65 ) и ( z = 70 ):
   2100 \cdot 65 + 4275y + 3600 \cdot 70 - 389250 = 0.
   136500 + 4275y + 252000 - 389250 = 0.
   4275y - 750 = 0.
   4275y = 750.
   y = \frac{750}{4275} \approx 0.175.

Координаты точки ( K ):
K(65, 0.175, 70).

Задача Б: Через точку ( M ) провести плоскость ( \beta ), параллельную плоскости треугольника ( ABC ).

Дано:
Координаты точки ( M(95, 10, 15) ).

Решение:

Параллельные плоскости имеют одинаковый нормальный вектор. Уравнение плоскости ( \beta ):
2100x + 4275y + 3600z + D_{\beta} = 0.

Подставляем координаты точки ( M(95, 10, 15) ), чтобы найти ( D_{\beta} ):
2100 \cdot 95 + 4275 \cdot 10 + 3600 \cdot 15 + D_{\beta} = 0.
199500 + 42750 + 54000 + D_{\beta} = 0.
D_{\beta} = -296250.

Уравнение плоскости ( \beta ):
2100x + 4275y + 3600z - 296250 = 0.

Ответы:

А: Координаты точки ( K ): K(65, 0.175, 70).
Б: Уравнение плоскости ( \beta ): 2100x + 4275y + 3600z - 296250 = 0.