Определите нагрузку, воспринимаемую железом

Предмет: Строительная механика
Раздел: Расчет железобетонных конструкций

Дано:

• Продольная сила  P = 240\,000\, \text{Н} 
• Модуль упругости железа  E_ж = 210\,000\, \text{Н/мм}^2 
• Модуль упругости бетона  E_б = 28\,000\, \text{Н/мм}^2 
• Площадь поперечного сечения железа составляет  \frac{1}{10}  площади бетона.

Обозначим:

•  A_ж  — площадь поперечного сечения железа
•  A_б  — площадь поперечного сечения бетона
•  \sigma_ж  — напряжение в железе
•  \sigma_б  — напряжение в бетоне
•  \varepsilon  — деформация (общая для железа и бетона, так как они работают совместно)

Шаг 1: Определим отношения площадей

По условию:
 A_ж = \frac{1}{10} A_б 

Обозначим  A_б = A , тогда  A_ж = \frac{A}{10} .

Шаг 2: Связь деформаций и напряжений

Железо и бетон деформируются одинаково (связь по деформациям):

 \varepsilon = \frac{\sigma_ж}{E_ж} = \frac{\sigma_б}{E_б} 

Отсюда выразим  \sigma_ж  через  \sigma_б :

 \sigma_ж = \sigma_б \frac{E_ж}{E_б} 

Шаг 3: Суммарная сила

Суммарная сила равна:

 P = \sigma_ж A_ж + \sigma_б A_б 

Подставим выражения:

 P = \sigma_б \frac{E_ж}{E_б} \cdot \frac{A}{10} + \sigma_б \cdot A = \sigma_б A \left(1 + \frac{E_ж}{10 E_б}\right) 

Шаг 4: Найдем  \sigma_б 

 \sigma_б = \frac{P}{A \left(1 + \frac{E_ж}{10 E_б}\right)} 

Шаг 5: Найдем нагрузку, воспринимаемую железом

Нагрузка на железо:

 P_ж = \sigma_ж A_ж = \sigma_б \frac{E_ж}{E_б} \cdot \frac{A}{10} = \frac{P}{A \left(1 + \frac{E_ж}{10 E_б}\right)} \cdot \frac{E_ж}{E_б} \cdot \frac{A}{10} 

Упростим:

 P_ж = P \cdot \frac{\frac{E_ж}{10 E_б}}{1 + \frac{E_ж}{10 E_б}} 

Шаг 6: Подставим числовые значения

Вычислим дробь:

 \frac{E_ж}{10 E_б} = \frac{210\,000}{10 \times 28\,000} = \frac{210\,000}{280\,000} = 0.75 

Тогда:

 P_ж = 240\,000 \times \frac{0.75}{1 + 0.75} = 240\,000 \times \frac{0.75}{1.75} = 240\,000 \times \frac{3}{7} = 240\,000 \times 0.4286 \approx 102\,857\, \text{Н} 

Ответ:

Нагрузка, воспринимаемая железом, составляет примерно  103\,000\, \text{Н} .