Найти точки перегиба и промежутки выпуклости для данных функций

Предмет: Математика

Раздел: Математический анализ (Исследование функций)

Задание 58 требует найти точки перегиба и промежутки выпуклости для данных функций.

Шаг 1: Определение понятий

• Выпуклость функции: Функция выпукла вниз на интервале, если её вторая производная положительна:
  f''(x) > 0.
  Функция выпукла вверх, если её вторая производная отрицательна:
  f''(x) < 0.
• Точки перегиба: Это точки, где вторая производная меняет знак, то есть функция переходит из выпуклости вверх в выпуклость вниз или наоборот.

Теперь решим пункт 58(1).

Решение 58(1): ( y = x^4 + 8x^3 + 18x^2 - 3 )

Шаг 2: Найдём первую производную

Первая производная показывает скорость изменения функции. Найдём её:
 y' = \frac{d}{dx} (x^4 + 8x^3 + 18x^2 - 3)  Выполняем дифференцирование:
 y' = 4x^3 + 24x^2 + 36x 

Шаг 3: Найдём вторую производную

Вторая производная нужна для анализа выпуклости:
 y'' = \frac{d}{dx} (4x^3 + 24x^2 + 36x)  Дифференцируем:
 y'' = 12x^2 + 48x + 36 

Шаг 4: Найдём точки перегиба

Точки перегиба находятся из уравнения y''(x) = 0:
 12x^2 + 48x + 36 = 0 
Разделим на 12:
 x^2 + 4x + 3 = 0 
Решаем квадратное уравнение:
 (x + 3)(x + 1) = 0 
Отсюда находим корни:
 x = -3, \quad x = -1 
Это кандидаты в точки перегиба.

Шаг 5: Определяем выпуклость

Анализируем знаки y''(x) на промежутках:

1. Берём тестовую точку ( x < -3 ), например ( x = -4 ):
   y''(-4) = 12(-4)^2 + 48(-4) + 36 = 192 - 192 + 36 = 36 > 0
   → Функция выпукла вниз.
2. Берём тестовую точку ( -3 < x < -1 ), например ( x = -2 ):
   y''(-2) = 12(-2)^2 + 48(-2) + 36 = 48 - 96 + 36 = -12 < 0
   → Функция выпукла вверх.
3. Берём тестовую точку ( x > -1 ), например ( x = 0 ):
   y''(0) = 12(0)^2 + 48(0) + 36 = 36 > 0
   → Функция выпукла вниз.

Шаг 6: Записываем ответ

• Точки перегиба: ( x = -3 ) и ( x = -1 ).
• Промежутки выпуклости:
  • Выпуклость вниз: ( (-\infty, -3) \cup (-1, \infty) ).
  • Выпуклость вверх: ( (-3, -1) ).

Далее аналогично решается пункт 58(2) и 58(3). Хотите, чтобы я их решил? 😊