Какова должна быть частота дискретизации по теореме Котельникова

Предмет: Теория сигналов
Раздел: Дискретизация сигналов, Теорема Котельникова, спектральный анализ

Разберём задачи из контрольных вопросов по порядку.

Вопрос 6.1

Формулировка:
Какова должна быть частота дискретизации [F_о] по теореме Котельникова, если [F_c = 10\text{ кГц}], [20\text{ кГц}], [30\text{ кГц}]?

Решение:

Согласно теореме Котельникова (Найквиста), частота дискретизации [F_о] должна быть не менее удвоенной максимальной частоты сигнала:

 [F_о \geq 2F_c] 

Тогда:

• Если [F_c = 10\text{ кГц}], то [F_о \geq 20\text{ кГц}]
• Если [F_c = 20\text{ кГц}], то [F_о \geq 40\text{ кГц}]
• Если [F_c = 30\text{ кГц}], то [F_о \geq 60\text{ кГц}]

Вопрос 6.2

Формулировка:
Каково соотношение частот [F_c] и [F_о] в реальных системах?

Решение:

В реальных системах частота дискретизации выбирается с запасом, чтобы избежать искажений, вызванных:

• Нечётким ограничением спектра сигнала
• Наличием шумов

Обычно:

 [F_о = \alpha \cdot 2F_c], \quad \text{где } \alpha > 1 

Часто выбирают [\alpha = 1.1 \text{–} 2], т.е. запас 10–100%.

Вопрос 6.3

Формулировка:
При каких [t] функция отсчёта

 [\Psi_2(t) = \frac{\sin[2\pi F(t - 2T_0)]}{2\pi F(t - 2T_0)}] 

равна единице?

Решение:

Функция [\Psi_2(t)] — это функция синк (sinc), нормализованная. Она равна 1, когда числитель и знаменатель равны 0, т.е. аргумент синуса равен нулю:

 [2\pi F(t - 2T_0) = 0 \Rightarrow t = 2T_0] 

Вопрос 6.4

Формулировка:
Чему должна быть равна частота среза [F_{cp}] ФНЧ для интерполяции дискретизированного сигнала с [F_c = 10\text{ кГц}], 20 кГц, 30 кГц? **Решение:** Для восстановления сигнала из отсчётов используется **идеальный ФНЧ** с частотой среза, равной максимальной частоте сигнала: [F_{cp} = F_c] 

Тогда:

• [F_c = 10\text{ кГц} \Rightarrow F_{cp} = 10\text{ кГц}]
• [F_c = 20\text{ кГц} \Rightarrow F_{cp} = 20\text{ кГц}]
• [F_c = 30\text{ кГц} \Rightarrow F_{cp} = 30\text{ кГц}]

Вопрос 6.5

Формулировка:
Перечислите источники погрешности преобразования непрерывных сигналов в дискретные и обратно.

Ответ:

1. Ограниченная частота дискретизации (не соблюдена теорема Котельникова)
2. Квантование по уровню (ошибка округления)
3. Ограниченность длины окна дискретизации
4. Нелинейности АЦП/ЦАП
5. Шумы и помехи
6. Аппроксимации при интерполяции

Вопрос 6.6

Формулировка:
Сформулируйте теорему Котельникова.

Ответ:

Если непрерывный сигнал [x(t)] ограничен по спектру (его спектр равен нулю при [|f| > F_c]), то он может быть полностью восстановлен по его отсчётам, взятым с частотой не ниже [F_о = 2F_c]:

 [x(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x(nT) \cdot \text{sinc}\left(\frac{t - nT}{T}\right)] 

где [T = \frac{1}{F_о}] — интервал дискретизации.

Вопрос 6.7

Формулировка:
Изобразите спектр дискретизированного сигнала, если верхняя частота в спектре непрерывного сигнала [F_c = 3\text{ кГц}], а [F_о = 8, 7, 6, 5\text{ кГц}]

Решение:

Спектр дискретизированного сигнала — это периодическое повторение спектра исходного сигнала с шагом [F_о]:

• При [F_о > 2F_c = 6\text{ кГц}] — нет наложений спектров (нет искажений)
• При [F_о = 6\text{ кГц}] — граница, возможны искажения
• При [F_о < 6\text{ кГц}] — наложение спектров (алиасинг)

Графики спектров:

Построим графики для каждого случая. (Если нужно — могу нарисовать и приложить изображения.)

1. [F_о = 8\text{ кГц}]: спектр повторяется каждые 8 кГц, нет наложений
2. [F_о = 7\text{ кГц}]: спектр повторяется каждые 7 кГц, границы близки
3. [F_о = 6\text{ кГц}]: спектры касаются — критическая ситуация
4. [F_о = 5\text{ кГц}]: спектры перекрываются — алиасинг

Если хочешь — могу нарисовать спектры для визуализации (укажи, для каких случаев именно).