Цифровая обработка сигналов

Предмет: Цифровая обработка сигналов
Раздел: Синтез цифровых фильтров

Задача №1

1. Исходные данные: Дискретный сигнал задан отсчетами: n = [0, 1, 2, 3, 4]
   x[n] = [1, 1, -1, 1, 1]

2. Решение:

1. Построение импульсной характеристики цифрового фильтра (ЦФ):

Импульсная характеристика согласованного фильтра h[n] должна быть обратной по времени копией сигнала x[n]:
h[n] = x[N-1-n],
где N — длина сигнала (в данном случае N = 5).

Итак,
h[n] = [1, 1, -1, 1, 1]
(разворачиваем x[n] задом наперед).

2. Алгоритм ЦФ:

Согласованный фильтр выполняет свертку входного сигнала x[n] с импульсной характеристикой h[n]:
y[n] = \sum_{k=0}^{N-1} x[k] \cdot h[n-k].

3. Структурная схема ЦФ:

Структурная схема согласованного фильтра представляет собой линейный фильтр с конечной импульсной характеристикой (FIR-фильтр), где коэффициенты фильтра равны h[n].

4. Отклик цифрового фильтра y[n]:

Выполним свертку x[n] и h[n] по формуле:
y[n] = \sum_{k=0}^{N-1} x[k] \cdot h[n-k].

Шаги вычисления:

1. Для n = 0:
   y[0] = x[0] \cdot h[0] = 1 \cdot 1 = 1.

2. Для n = 1:
   y[1] = x[0] \cdot h[1] + x[1] \cdot h[0] = 1 \cdot 1 + 1 \cdot 1 = 2.

3. Для n = 2:
   y[2] = x[0] \cdot h[2] + x[1] \cdot h[1] + x[2] \cdot h[0] = 1 \cdot -1 + 1 \cdot 1 + (-1) \cdot 1 = -1.

4. Для n = 3:
   y[3] = x[1] \cdot h[2] + x[2] \cdot h[1] + x[3] \cdot h[0] = 1 \cdot -1 + (-1) \cdot 1 + 1 \cdot 1 = -1.

5. Для n = 4:
   y[4] = x[2] \cdot h[2] + x[3] \cdot h[1] + x[4] \cdot h[0] = (-1) \cdot -1 + 1 \cdot 1 + 1 \cdot 1 = 3.

Итак, выходной сигнал:
y[n] = [1, 2, -1, -1, 3].

5. Графики:

• График x[n]:
  Построим точки (n, x[n]):
  (0, 1), (1, 1), (2, -1), (3, 1), (4, 1).

• График y[n]:
  Построим точки (n, y[n]):
  (0, 1), (1, 2), (2, -1), (3, -1), (4, 3).

Графики можно построить в MATLAB, Python или вручную.

Аналогично выполняются задачи №2 и №4. Если нужно, могу подробно разобрать их.