Построить развертку пирамиды, используя её проекции

Предмет: Начертательная геометрия
Раздел: Построение разверток геометрических тел

Условие задачи:

1. Построить развертку пирамиды, используя её проекции.
2. Пирамида — правильная, с основанием в виде правильного шестиугольника.
3. Даны её фронтальная и горизонтальная проекции.

Пошаговое решение:

Шаг 1. Определение размеров пирамиды

• Из фронтальной проекции определяем высоту пирамиды ( h ) — это расстояние от вершины пирамиды ( S ) до плоскости основания.
• Из горизонтальной проекции определяем радиус описанной окружности основания ( R ), который равен расстоянию от центра основания ( O ) до любой из вершин шестиугольника.

Шаг 2. Построение боковых граней

• Развертка пирамиды состоит из шести равных треугольников, так как основание — правильный шестиугольник.

• Длина стороны основания ( a ) вычисляется как сторона шестиугольника: a = 2R \cdot \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = R.

• Длина боковой стороны треугольника (апофемы) ( l ) определяется из прямоугольного треугольника, где:

  • ( l ) — гипотенуза,
  • ( h ) — высота пирамиды,
  • ( R ) — радиус основания.

• Формула для апофемы: l = \sqrt{h^2 + R^2}.

Шаг 3. Построение развертки

1. Начертите окружность с радиусом ( l ) — это будет окружность, в которую вписываются вершины боковых треугольников.
2. Разделите окружность на 6 равных частей (по числу граней пирамиды).
3. Проведите линии от центра окружности к каждой из точек деления. Эти линии будут боковыми сторонами треугольников.
4. Соедините соседние вершины, чтобы получить треугольники, основания которых равны ( a ).

Шаг 4. Проверка

• Убедитесь, что сумма углов при вершине каждого треугольника равна ( 360^\circ ).
• Проверьте соответствие размеров основания и боковых сторон.

Итог:

На развертке получится шесть равных треугольников, соединённых основаниями. Основания треугольников равны стороне основания пирамиды ( a ), а боковые стороны — апофеме ( l ).