Вычислить определенный интеграл

Предмет: Математика

Раздел: Интегралы, математический анализ

Задание: Вычислить определенный интеграл \(\int_{1}^{3} \frac{dx}{x}\).

Подробное решение:

1. Запишем интеграл: \[ \int_{1}^{3} \frac{dx}{x} \]
2. Вспомним формулу первообразной: Интеграл от \(\frac{1}{x}\) равен натуральному логарифму \( |x| \) плюс константа. Однако, так как у нас определенный интеграл, константа нам не потребуется: \[ \int \frac{dx}{x} = \ln|x| + C \]
3. Вычислим первообразную на границах интегрирования: \[ \int_{1}^{3} \frac{dx}{x} = \left[ \ln|x| \right]_{1}^{3} \]
4. Подставим значения границ: \[ \left. \ln|x| \right|_{1}^{3} = \ln(3) - \ln(1) \]
5. Вспомним свойство логарифмов: Натуральный логарифм от единицы равен нулю: \[ \ln(1) = 0 \]
6. Просчитаем окончательное значение: \[ \ln(3) - 0 = \ln(3) \]

Ответ: \[ \int_{1}^{3} \frac{dx}{x} = \ln(3) \]