Вычисление размеров октаэдрической пустоты в решетке

Определение предмета и раздела

Задание относится к кристаллографии, а именно — к разделу, связанному с атомными упаковками и кристаллическими структурами. Рассматривается вычисление размеров октаэдрической пустоты в решетке.

Часть 1: Вычисление размера октаэдрической пустоты

Определение октаэдрической пустоты в решетке

Октаэдрическая пустота — это пространство, окружаемое шестью атомами, которые образуют вершины октаэдра. В данном случае "шары" с радиусом R — это атомы, расположенные в узлах кристаллической решетки. Необходимо вычислить радиус октаэдрической пустоты, которая образуется между этими шарами.

Размер октаэдрической пустоты

Октаэдрическая пустота возникает в точках, где шесть шаров (атомов) касаются друг друга. Атомы относительно пустоты можно рассматривать так, что их радиусы задают расстояние между вершинами октаэдра. В решетках плотной упаковки (например, гранецентрированная кубическая решетка (ГЦК) или гексагональная плотная упаковка (ГПУ)) октаэдрические пустоты находятся между четырьмя атомами в одной плоскости и двумя атомами выше и ниже этой плоскости.

Расчет радиуса пустоты

1. В случае плотной упаковки (ГЦК или ГПУ) соседние атомы касаются друг друга, а значит, расстояние между центрами атомов равно \(2R\).
2. Радиус октаэдрической пустоты определится как расстояние от центра октаэдрической пустоты до касающегося её атома. В результате радиус пустоты \(r_{\text{окта}}\) можно найти из следующего соотношения: \[ r_{\text{окта}} = R(\sqrt{2} - 1) \]

Объяснение:

• \(R\) — радиус атома, образующего решетку.
• Октаэдрическая пустота ограничена тетраэдрическими плоскостями в плотной упаковке, и ширина пространства в точке между этим завершается разницей \(\sqrt{2} - 1\). Таким образом, радиус пустоты составляет \(r_{\text{окта}} = (\sqrt{2} - 1)R \approx 0.414R\), или примерно 41.4% радиуса атома R.

Часть 2: Количество октаэдрических пустот в ГПУ

Гексагональная плотнейшая упаковка (ГПУ) содержит специфические положения, где формируются октаэдрические пустоты. В одной элементарной ячейке ГПУ имеется:

• 1 атом в центре,
• 12 атомов на гранях (в которых каждый атом "делится" с соседними элементарными ячейками, и фактически одна ячейка содержит долю от них).

Для грубой оценки количества октаэдрических пустот можно воспользоваться известным фактом: в решетках гексагональной плотной упаковки (именно для ГПУ) одна октаэдрическая пустота на каждый атом элемента. Следовательно, на одну элементарную ячейку ГПУ приходится одна октаэдрическая пустота.

Часть 3: Координаты октаэдрических пустот в ГПУ решетке

1. Октаэдрическая пустота расположена в центре элементарной ячейки, её координаты: \( (a/2, a/2, c/2) \), где \(a \) и \(c\) — размеры элементарной ячейки в горизонтальном и вертикальном направлениях соответственно.
2. Октаэдрические пустоты находятся также на парциальных координатах других точек в зависимости от спецификации конкретной молекулярной диаграммы \(i, j, z \) — но центральная руководящая известна.

Выбор системы координат можно осуществлять следующим образом: