Произвести расчет объемов элементарных ячеек для двух типов систем: кубической и гексагональной

Предмет: Физика/Кристаллография

Тема: Кубическая и гексагональная сингония (объем элементарных ячеек)

Задание:

Необходимо произвести расчет объемов элементарных ячеек для двух типов систем: кубической и гексагональной. В задании речь идет о кристаллической решетке кальция (Ca), которая может кристаллизоваться в различных кристаллических сингониях.

Шаг 1: Определение параметров для кубической сингонии

Для кубической кристаллической решетки структура симметрична, и длины сторон (ребер) равны: \(a = b = c\), а углы между осями \(x\), \(y\) и \(z\) равны \(90^\circ\).

Объем элементарной ячейки в кубической системе выражается формулой:

\[ V_{\text{куб}} = a^3 \]

Где \(a\) — параметр решетки (ребро куба, которое нужно узнать для кальция в данном типе решетки).

К примеру, если параметр решетки \(a\) для кальция равен \(a = 0.558 \, \text{нм}\) (экспериментальное значение для фазы Ca с кубической сингонией), тогда объем:

\[ V_{\text{куб}} = (0.558 \, \text{нм})^3 = 0.17398 \, \text{нм}^3 \]

Шаг 2: Определение параметров для гексагональной сингонии

Гексагональная система характеризуется тем, что два ребра кристалла, \(a\) и \(b\), равны между собой, а третий параметр \(c\) может отличаться. Углы между \(a\) и \(b\) составляют \(120^\circ\), а между осями \(z\) и \(a\) (или \(b\)) — \(90^\circ\).

Формула для объема элементарной ячейки гексагональной системы:

\[ V_{\text{гекс}} = \frac{\sqrt{3}}{2}a^2c \]

Здесь \(a\) и \(c\) — параметры решетки, которые нужно вычислить или взять из табличных величин для гексагональной решетки кальция.

Для кальция в гексагональной сингонии параметры решетки для металлического кальция экспериментально равны:

• \(a = 0.394 \, \text{нм}\)
• \(c = 0.556 \, \text{нм}\)

Теперь можем рассчитать объем:

\[ V_{\text{гекс}} = \frac{\sqrt{3}}{2}(0.394 \, \text{нм})^2 \cdot 0.556 \, \text{нм} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 0.155236 \, \text{нм}^2 \cdot 0.556 \, \text{нм} = 0.07469 \, \text{нм}^3 \]

Итоги:

• Объем кубической элементарной ячейки для кальция: \(V_{\text{куб}} = 0.17398 \, \text{нм}^3\)
• Объем гексагональной элементарной ячейки для кальция: \(V_{\text{гекс}} = 0.07469 \, \text{нм}^3\)

Объяснение:

Мы использовали стандартные формулы для расчета объемов элементарных ячеек кристаллов в зависимости от типов решетки — кубической и гексагональной. Важно, что для каждого типа кристаллической структуры значения параметров решетки могут быть найдены экспериментально или заданы в условии. Эти данные позволяют нам точно определить объем элементарной ячейки.