Вычислить постоянную Маделунга для структуры CuI

Задание: Нам нужно вычислить постоянную Маделунга для структуры CuI (типа сфалерита ZnS), зная, что энергия решетки CuI составляет 199 ккал/моль, а период решетки \( a = 6.04 \, \text{Å} \).

Предмет: Кристаллография, раздел: Энергия решетки и взаимодействия в ионных кристаллах.

Шаг 1: Формула для энергии решетки

Энергия решетки ионного кристалла может быть описана модифицированной формулой Борна-Ланда:

\[ U_0 = \frac{N_A M Z^+ Z^- e^2}{4 \pi \varepsilon_0 r_0}\left(1 - \frac{1}{n}\right), \]

где:

• \( U_0 \) — энергия решетки,
• \( N_A \) — число Авогадро (\( 6.022 \times 10^{23} \) молей в \(1 \, \text{моль}\)),
• \( M \) — постоянная Маделунга (что требуется найти),
• \( Z^+ \) и \( Z^- \) — заряды катиона и аниона (для CuI: \( Z^+ = +1 \), \( Z^- = -1 \)),
• \( e \) — элементарный заряд (\( 1.602 \times 10^{-19} \, \text{Кл} \)),
• \( \varepsilon_0 \) — электрическая постоянная (\( 8.854 \times 10^{-12} \, \text{Ф/м} \)),
• \( r_0 \) — расстояние между ионами (равно половине периода решетки \( r_0 = \frac{a}{2} \)),
• \( n \) — показатель компрессии или показатель Бормера. Для большинства случаев \( n \approx 9 \) (предположим его таким).

Шаг 2: Перевод данных в SI

Энергия решетки \( U_0 \) дана в ккал/моль, переведем ее в Джоули:

\[ 199 \, \text{ккал/моль} = 199 \times 4184 \, \text{Дж/моль} = 832616 \, \text{Дж/моль}. \]

Период решетки \( a = 6.04 \, \text{Å} \) нужно перевести в метры:

\[ a = 6.04 \times 10^{-10} \, \text{м}. \]

Шаг 3: Выразим постоянную Маделунга

Выразим M из формулы:

\[ M = \frac{U_0 \cdot 4 \pi \varepsilon_0 r_0 n}{N_A Z^+ Z^- e^2 (n-1)}. \]

Подставляем данные в формулу:

\[ r_0 = \frac{6.04 \times 10^{-10}}{2} \, \text{м} = 3.02 \times 10^{-10} \, \text{м}, \]

\[ M = \frac{832616 \cdot (4 \pi \cdot 8.854 \times 10^{-12} \cdot 3.02 \times 10^{-10}) \cdot 9}{6.022 \times 10^{23} \cdot 1 \cdot (-1) \cdot (1.602 \times 10^{-19})^2 \cdot 8}. \]

Шаг 4: Проведение расчетов

Рассчитаем числитель и знаменатель отдельно:

Числитель:

\[ 832616 \cdot (4 \pi \cdot 8.854 \times 10^{-12} \cdot 3.02 \times 10^{-10}) \cdot 9 \approx 832616 \cdot 3.3514 \times 10^{-20} \cdot 9 \approx 2.52 \times 10^{-12} \]

Знаменатель:

\[ (6.022 \times 10^{23}) \cdot (1.602 \times 10^{-19})^2 \cdot 8 \approx 6.022 \times 10^{23} \cdot 2.563 \times 10^{-38} \cdot 8 \approx 1.234 \times 10^{-13}. \]

Теперь найдём \( M \):

Ответ: Постоянная Маделунга \( M \approx 20.4 \).

\[ M = \frac{2.52 \times 10^{-12}}{1.234 \times 10^{-13}} \approx 20.43. \]