Найти: Сколько раз будет выполнено тело внутреннего цикла при [n = 10]?

Предмет: Информатика
Раздел: Алгоритмизация и программирование (анализ вложенных циклов)

Рассмотрим задачу №1:

Условие:

Дан вложенный цикл:

for i = 1 to n - 1
  for j = 1 to n - i + 2
    t = t + 1;

Найти:

1. Сколько раз будет выполнено тело внутреннего цикла при [n = 10]?
2. Найти общую формулу количества итераций.

Анализ:

Внешний цикл:
[i = 1 \text{ to } n - 1]
Внутренний цикл:
[j = 1 \text{ to } n - i + 2]

Для каждого значения [i] внутренний цикл выполняется [n - i + 2] раз.

Чтобы найти общее количество итераций тела внутреннего цикла, нужно просуммировать это выражение по всем [i] от [1] до [n - 1]:

 \sum_{i=1}^{n-1} (n - i + 2) 

Упростим выражение под суммой:

 n - i + 2 = (n + 2) - i 

Тогда:

 \sum_{i=1}^{n-1} ((n + 2) - i) = \sum_{i=1}^{n-1} (n + 2) - \sum_{i=1}^{n-1} i 

Вычислим каждую сумму:

• \sum_{i=1}^{n-1} (n + 2) = (n - 1)(n + 2)
• \sum_{i=1}^{n-1} i = \frac{(n - 1)n}{2}

Тогда итоговая формула:

 (n - 1)(n + 2) - \frac{(n - 1)n}{2} 

Вынесем общий множитель (n - 1):

 (n - 1)\left[(n + 2) - \frac{n}{2}\right] 

Приведем к общему знаменателю:

 (n - 1)\left[\frac{2(n + 2) - n}{2}\right] = (n - 1)\left[\frac{2n + 4 - n}{2}\right] = (n - 1)\left[\frac{n + 4}{2}\right] 

Ответ — общая формула:

 T(n) = \frac{(n - 1)(n + 4)}{2} 

Подставим [n = 10]:

 T(10) = \frac{(10 - 1)(10 + 4)}{2} = \frac{9 \cdot 14}{2} = \frac{126}{2} = 63 

Ответ:

• Число итераций при n = 10: [63]
• Общая формула: [T(n) = \frac{(n - 1)(n + 4)}{2}]

Если нужно, могу также подробно разобрать задачу №2.