сформировать код хемминга для посылки A=1101011

Предмет: Информатика
Раздел: Теория информации и кодирование (Коды обнаружения и исправления ошибок, код Хэмминга)

Задание:

Сформировать код Хэмминга для посылки A = 1101011.

Шаг 1: Определим количество битов исходного сообщения

У нас есть 7-битовая посылка:

A = 1\ 1\ 0\ 1\ 0\ 1\ 1

Обозначим эти биты как:

d_1 = 1,\ d_2 = 1,\ d_3 = 0,\ d_4 = 1,\ d_5 = 0,\ d_6 = 1,\ d_7 = 1

Шаг 2: Определим количество контрольных битов

Число контрольных битов r определяется неравенством:

2^r \geq m + r + 1

где m = 7 — количество информационных битов.

Подставим:

• При r = 3: 2^3 = 8 < 7 + 3 + 1 = 11
• При r = 4: 2^4 = 16 \geq 12

Значит, нужно 4 контрольных бита.

Шаг 3: Расположим биты в код Хэмминга

В коде Хэмминга контрольные биты располагаются на позициях, индекс которых — степень двойки: 1, 2, 4, 8…

Итак, структура будет следующая (позиции от 1 до 11):

Теперь подставим информационные биты:

• d_1 = 1 → позиция 3
• d_2 = 1 → позиция 5
• d_3 = 0 → позиция 6
• d_4 = 1 → позиция 7
• d_5 = 0 → позиция 9
• d_6 = 1 → позиция 10
• d_7 = 1 → позиция 11

Промежуточный вектор:

[\,p_1,\ p_2,\ 1,\ p_4,\ 1,\ 0,\ 1,\ p_8,\ 0,\ 1,\ 1\,]

Шаг 4: Вычислим контрольные биты

Контрольные биты вычисляются по следующим правилам:

• p_1 проверяет биты, у которых позиция имеет младший бит 1 (позиции: 1, 3, 5, 7, 9, 11)
• p_2 проверяет позиции, у которых второй бит в двоичном представлении равен 1 (позиции: 2, 3, 6, 7, 10, 11)
• p_4 проверяет позиции, у которых третий бит равен 1 (позиции: 4–7, 12–15)
• p_8 проверяет позиции 8–15

Вычислим p_1:

Проверяем позиции: 1, 3, 5, 7, 9, 11
Значения: p1, 1, 1, 1, 0, 1 → исключаем p1, считаем остальные: 1 + 1 + 1 + 0 + 1 = 4 (чётное)
Значит, p_1 = 0

Вычислим p_2:

Проверяем позиции: 2, 3, 6, 7, 10, 11
Значения: p2, 1, 0, 1, 1, 1 → исключаем p2: 1 + 0 + 1 + 1 + 1 = 4 (чётное)
p_2 = 0

Вычислим p_4:

Проверяем позиции: 4, 5, 6, 7
Значения: p4, 1, 0, 1 → исключаем p4: 1 + 0 + 1 = 2 (чётное)
p_4 = 0

Вычислим p_8:

Проверяем позиции: 8, 9, 10, 11
Значения: p8, 0, 1, 1 → исключаем p8: 0 + 1 + 1 = 2 (чётное)
p_8 = 0

Шаг 5: Запишем окончательный код Хэмминга

Подставим контрольные биты:

[\,0,\ 0,\ 1,\ 0,\ 1,\ 0,\ 1,\ 0,\ 0,\ 1,\ 1\,]

Ответ:

Код Хэмминга для посылки A = 1101011:

00101010011

Если остались вопросы или нужно проверить приемник на ошибки — напиши!