Задача на вычисление количества кратчайших путей шахматной ладьи на прямоугольной доске с обязательным посещением определенной клетки

Предмет: Информатика, Раздел: Алгоритмы и структуры данных

Задание: Перед нами задача на вычисление количества кратчайших путей шахматной ладьи на прямоугольной доске с обязательным посещением определенной клетки.

Описание задачи:

• Ладья должна перемещаться по доске размеров \( n \times m \) (n строк и m столбцов), начиная в верхнем левом углу (1, 1) и заканчивая в правом нижнем углу (n, m).
• Обязательно нужно посетить клетку с координатами \((x, y)\) по пути.
• Ладья может двигаться только вправо и вниз.

План решения:

1. Число путей на прямоугольной доске. Для того чтобы посчитать количество вариантов перемещений ладьи из одной клетки в другую, можно воспользоваться динамическим программированием. Каждый шаг зависит от количества способов добраться до клетки сверху и слева.
2. Разбиение движения на части.
1. Мы должны найти количество кратчайших путей по частям:
   1. Из точки \((1, 1)\) до точки \((x, y)\),
   2. Из точки \((x, y)\) до точки \((n, m)\).
3. Комбинация путей. Всего кратчайших путей будет произведение количества путей на первом и втором участке маршрута.

Формула для вычисления количества путей:

Количество путей с движением только вправо и вниз на сетке можно найти используя биномиальные коэффициенты, или мы можем воспользоваться табличным методом динамического программирования.

Реализация:

Теперь перейдем к реализации на Python:

def count_ways(n, m):
    # Матрица для хранения количества путей до каждой клетки
    dp = [[0] * (m + 1) for _ in range(n + 1)]
    # В начальную клетку существует один путь (из неё самой)
    dp[1][1] = 1
    # Заполняем динамическую таблицу
    for i in range(1, n + 1):
        for j in range(1, m + 1):
            if i == 1 and j == 1:
                continue
            dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1]
    return dp

# Основная функция
def main():
    # Чтение входных данных
    n, m = map(int, input().split())
    # Размеры доски
    x, y = map(int, input().split())  # Координаты обязательной клетки (x, y)
    # Находим количество путей из (1, 1) до (n, m) через (x, y)
    dp1 = count_ways(n, m)
    # Пути от (1, 1) до (x, y)
    ways_to_xy = dp1[x][y]
    # Пути от (x, y) до (n, m)
    dp2 = count_ways(n - x + 1, m - y + 1)
    ways_from_xy_to_nm = dp2[n - x + 1][m - y + 1]
    # Общее количество путей
    result = ways_to_xy * ways_from_xy_to_nm
    print(result)

if __name__ == "__main__":
    main()

Пояснение работы программы:

1. Функция `count_ways(n, m)`: Она создает таблицу динамического программирования, где каждое значение в ячейке \((i, j)\) будет содержать количество способов добраться до этой клетки с позиции \((1, 1)\). Мы заполняем эту таблицу по формуле:

   dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1]

   потому что ладья может прийти в клетку либо с левого столбца (движение вправо), либо с верхней строки (движение вниз).
2. Основная часть программы:
   • Сначала программа считывает входные данные: размеры доски и координаты обязательной клетки.
   • Затем с помощью динамического программирования находится количество путей до клетки \((x, y)\) и от клетки \((x, y)\) до \((n, m)\).
   • Умножаем количество путей на двух участках, что дает итоговое количество путей.

Анализ сложности:

• Время работы алгоритма: \ \(O(n \times m)\) \, где \ \(n\) \ — количество строк, а \ \(m\) \ — количество столбцов. Мы создаем таблицу путей и заполняем её линейно строка за строкой.
• Пространственная сложность также \ \(O(n \times m)\) \, так как мы храним информацию о каждом пути в таблице.

Пример:

Входные данные:

3 4
2 3

Выходные данные:

6

И действительно, на картинке указаны 6 возможных путей для перемещения ладьи.