Данное упражнение является задачей по математическому анализу (раздел: методы решения уравнений). Мы будем использовать метод бисекции, это численный метод нахождения корня уравнения на промежутке, если функция непрерывна и меняет знак на концах отрезка. Задано уравнение: \[ \ln(x) + x^2 = 0 \] Необходимо решить его с точностью 0,05.
Шаг 1. Преобразование задачи.
Рассмотрим уравнение в виде нахождения нуля функции: \[ f(x) = \ln(x) + x^2 \] Нам нужно найти такое значение \( x \), при котором \( f(x) = 0 \).
Шаг 2. Выбор начального интервала.
Метод бисекции требует, чтобы на концах интервала функция имела разный знак \( f(a) \cdot f(b) < 0 \). Это гарантирует наличие хотя бы одного корня по теореме Болцано-Коши для непрерывных функций. Чтобы определить подходящие границы интервала, найдем значения функции в нескольких точках: \( f(0.1) = \ln(0.1) + (0.1)^2 = -2.3026 + 0.01 = -2.2926 \) \( f(1) = \ln(1) + 1^2 = 0 + 1 = 1 \) Итак, на отрезке \( [0.1, 1] \) имеем \( f(0.1) < 0 \) и \( f(1) > 0 \), что означает, что корень находится где-то между 0.1 и 1.
Шаг 3. Применение метода бисекции.
- Найдем середину интервала: \[ m = \frac{0.1 + 1}{2} = 0.55 \] Теперь вычислим \( f(0.55) \): \[ f(0.55) = \ln(0.55) + (0.55)^2 = -0.5978 + 0.3025 = -0.2953 \] Так как \( f(0.55) < 0 \), то корень находится между \( 0.55 \) и 1. Мы сокращаем интервал до \( [0.55, 1] \).
- Найдем новую середину интервала: \[ m = \frac{0.55 + 1}{2} = 0.775 \] Вычислим \( f(0.775) \): \[ f(0.775) = \ln(0.775) + (0.775)^2 = -0.2554 + 0.600625 = 0.345225 \] Так как \( f(0.775) > 0 \), корень находится между \( 0.55 \) и \( 0.775 \). Теперь мы сократим интервал до \[ [0.55, 0.775] \].
- Продолжим итерации, пока длина интервала не станет менее 0.05. 3-я итерация: \[ m = \frac{0.55 + 0.775}{2} = 0.6625 \] Вычислим \( f(0.6625) \): \[ f(0.6625) = \ln(0.6625) + (0.6625)^2 = -0.4116 + 0.4389 = 0.0273 \] Поскольку \( f(0.6625) > 0 \), интервал изменяем на \( [0.55, 0.6625] \). 4-я итерация: \[ m = \frac{0.55 + 0.6625}{2} = 0.60625 \] Вычислим \( f(0.60625) \): \[ f(0.60625) = \ln(0.60625) + (0.60625)^2 = -0.5006 + 0.3675 = -0.1331 \] Корень между \( 0.60625 \) и \( 0.6625 \). 5-я итерация: \[ m = \frac{0.60625 + 0.6625}{2} = 0.634375 \] Вычислим \( f(0.634375) \): \[ f(0.634375) = \ln(0.634375) + (0.634375)^2 = -0.4548 + 0.4024 = -0.0524 \] 6-я итерация: \[ m = \frac{0.634375 + 0.6625}{2} = 0.6484375 \] Вычислим \( f(0.6484375) \): \[ f(0.6484375) = \ln(0.6484375) + (0.6484375)^2 = -0.4325 + 0.4205 = -0.012 \] Поскольку длина интервала меньше 0.05 и \( f(0.6484375) \approx 0 \), можно считать приближенное решение найденным с требуемой точностью.
Ответ: