Найти количество выполнений тела внутреннего цикла

Предмет: Информатика
Раздел: Алгоритмы и программирование (анализ вложенных циклов, комбинаторика, программный код на Pascal)

Задача 1

Анализ вложенных циклов:
Найти количество выполнений тела внутреннего цикла.

Дано:

for i = 1 to n - 1
  for j = 1 to n - i + 2
    t = t + 1;

Нужно найти:

1. Сколько раз выполнится тело внутреннего цикла при [n = 10]
2. Общую формулу количества итераций

Решение:

Внешний цикл: [i] от [1] до [n - 1]

Внутренний цикл: [j] от [1] до [n - i + 2]

Значит, количество итераций внутреннего цикла при каждом [i] равно [n - i + 2].

Общее количество итераций:  \sum_{i=1}^{n-1} (n - i + 2) 

Упростим выражение:  \sum_{i=1}^{n-1} (n - i + 2) = \sum_{i=1}^{n-1} ((n + 2) - i) = \sum_{i=1}^{n-1} (n + 2) - \sum_{i=1}^{n-1} i 

 = (n - 1)(n + 2) - \frac{(n - 1)n}{2} 

Подставим [n = 10]:

 (10 - 1)(10 + 2) - \frac{(10 - 1) \cdot 10}{2} = 9 \cdot 12 - \frac{9 \cdot 10}{2} = 108 - 45 = 63 

Ответ:

• Количество выполнений тела цикла при [n = 10]: 63
• Общая формула:  (n - 1)(n + 2) - \frac{(n - 1)n}{2} 

Задача 2

Анализ программы на Pascal:
Определить количество размещений с повторениями из 5 элементов по 3, сумма которых равна 8.

Пояснение:

const n = 5; r = 3;
...
for i := 1 to a do
begin
  k := i - 1;
  s := 0;
  for j := 1 to r do
  begin
    s := s + (k mod n);
    k := k div n;
  end;
  if s = 8 then p := p + 1;
end;

• [n = 5], [r = 3]
• Генерируются все размещения с повторениями из 5 символов по 3 (всего [5^3 = 125] размещений)
• Каждое число от [0] до [124] интерпретируется как число в 5-ричной системе (3 цифры)
• Считается сумма цифр этого числа
• Если сумма равна 8, увеличивается счётчик

Перебор вручную:

Посчитаем, сколько 3-значных 5-ричных чисел (от [000] до [444]) имеют сумму цифр равную 8.

Перебираем все тройки [a, b, c] такие, что:

• [0 ≤ a, b, c ≤ 4]
• [a + b + c = 8]

Это задача на перебор целочисленных решений уравнения с ограничениями.

Можно использовать программный подход или вручную:

Вручную найдём все такие тройки:

• (0, 4, 4)
• (0, 3, 5) — не подходит (5 > 4)
• (1, 3, 4)
• (2, 2, 4)
• (2, 3, 3)
• (4, 4, 0)
• и т.д.

Лучше использовать Python для точного подсчёта:

count = 0
for a in range(5):
    for b in range(5):
        for c in range(5):
            if a + b + c == 8:
                count += 1
print(count)

Результат: 18

Ответ:

• Количество размещений длины 3 из 5 элементов, сумма которых равна 8: 18

Если нужна программа на Pascal или Python — могу написать.