Написать программу для приближенного вычисления числа π с использованием формулы Лейбница, которая дана на изображении

Предмет: Программирование

Раздел предмета: Алгоритмы численного вычисления, цикл и последовательности

Задание: Написать программу для приближенного вычисления числа π с использованием данной формулы.

Формула Лейбница, которая дана на изображении, выглядит следующим образом для приближенного вычисления числа π: \[ \frac{\pi}{4} = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \frac{1}{9} - \cdots \]

В этой задаче необходимо вычислить приближенное значение числа π, используя определенное количество слагаемых. Количество слагаемых вводится с клавиатуры.

Подробное объяснение:

1. Формулу удобно будет реализовать с использованием цикла for, так как колеблющиеся знаки (плюс и минус) можно отслеживать через переменную-счетчик цикла.
2. Для последовательно меняющихся знаков (плюс-минус) можно использовать умножение на -1.
3. После внесения каждого нового слагаемого значение в текущую сумму либо увеличивается, либо уменьшается.
4. В конце необходимо умножить полученное значение на 4, чтобы получить приближенное значение числа π.

Алгоритм:

1. Запросить у пользователя количество шагов для приближенного вычисления.
2. Инициализировать переменную для хранения суммы.
3. С помощью цикла добавить или вычесть дробные члены из суммы.
4. Умножить полученное значение на 4, чтобы получить приближенное значение числа π.

Вот решение на C#:

using System;
class Program
{
    static void Main()
    {
        // Запрашиваем у пользователя количество слагаемых
        Console.Write("Введите количество слагаемых: ");
        int terms = int.Parse(Console.ReadLine());

        double piApproximation = 0.0; // Переменная для хранения промежуточного результата
        double sign = 1.0; // Переменная для знака, который меняется каждый раз

        for (int i = 0; i < terms; i++)
        {
            // Добавляем слагаемые, соблюдая знаки (+/-)
            piApproximation += sign / (2.0 * i + 1);
            sign *= -1; // Меняем знак
        }

        // Умножаем результат на 4 (по формуле)
        piApproximation *= 4;

        // Выводим полученное приближенное значение числа π
        Console.WriteLine($"Приближенное значение числа π: {piApproximation}");
    }
}

Пояснение к коду:

1. int terms = int.Parse(Console.ReadLine()) — это строка, которая запрашивает количество слагаемых у пользователя.
2. sign — отвечает за смену знака перед каждым слагаемым: сначала плюс, потом минус.
3. Цикл for идет по каждому слагаемому:
   • Сначала добавляем дробь вида 1 / (2 * i + 1), где i — это текущий индекс цикла.
   • После добавления или вычитания дроби меняем знак на противоположный.
4. piApproximation *= 4 — после окончания цикла умножаем сумму на 4, что соответствует формуле.
5. Console.WriteLine() — выводит результат, приближенное значение числа π.

Пример работы программы:

Введите количество слагаемых: 100000
Приближенное значение числа π: 3.1415826535897198

Таким образом, программа приближенно вычислит значение числа π в зависимости от количества слагаемых, введенных пользователем. Чем больше слагаемых, тем точнее результат.