Оценка точности геодезических измерений

Предмет: Геодезия

Раздел: Оценка точности геодезических измерений

Решение задачи №3

Дано:
Измерения горизонтального угла \beta:
30^\circ 12'30'', 30^\circ 12'13'', 30^\circ 12'32'', 30^\circ 12'20''.

Необходимо определить:

1. Среднее значение угла
2. Среднеквадратическое отклонение (СКО)
3. Среднюю ошибку
4. Предельную ошибку

1. Найдём среднее значение угла:
Среднее арифметическое вычисляется по формуле:
\bar{x} = \frac{\sum x_i}{n}

Переведём углы в секунды:

• 30^\circ 12'30'' = 108750 сек
• 30^\circ 12'13'' = 108733 сек
• 30^\circ 12'32'' = 108752 сек
• 30^\circ 12'20'' = 108740 сек

Среднее значение:
\bar{x} = \frac{108750 + 108733 + 108752 + 108740}{4} = \frac{434975}{4} = 108743.75 сек

Преобразуем обратно:
108743.75 сек = 30^\circ 12'23.75''

2. Определяем СКО единичного измерения:
Формула:
m = \sqrt{\frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{n-1}}

Подставляем данные:
m = \sqrt{\frac{(108750 - 108743.75)^2 + (108733 - 108743.75)^2 + (108752 - 108743.75)^2 + (108740 - 108743.75)^2}{4-1}}

m = \sqrt{\frac{(6.25)^2 + (-10.75)^2 + (8.25)^2 + (-3.75)^2}{3}}

m = \sqrt{\frac{39.06 + 115.56 + 68.06 + 14.06}{3}}

m = \sqrt{\frac{236.74}{3}} = \sqrt{78.91} \approx 8.88 сек

3. Средняя ошибка:
Формула:
m_{\bar{x}} = \frac{m}{\sqrt{n}}

m_{\bar{x}} = \frac{8.88}{\sqrt{4}} = \frac{8.88}{2} = 4.44 сек

4. Предельная ошибка:
Формула:
\Delta = \pm 3m_{\bar{x}}

\Delta = \pm 3 \times 4.44 = \pm 13.32 сек

Ответ:

• Среднее значение угла: 30^\circ 12'23.75''
• СКО: 8.88''
• Средняя ошибка: 4.44''
• Предельная ошибка: \pm 13.32''

Решение задачи №5

Дано:
Измеренные высоты:
H = 32.184, 32.118, 32.179, 32.185, 32.189, 32.187, 32.183 м

Необходимо определить:

1. Среднее значение
2. СКО
3. Среднюю ошибку
4. Предельную ошибку

1. Найдём среднее значение высоты:
\bar{H} = \frac{\sum H_i}{n}

\bar{H} = \frac{32.184 + 32.118 + 32.179 + 32.185 + 32.189 + 32.187 + 32.183}{7}

\bar{H} = \frac{225.225}{7} = 32.175 м

2. Определяем СКО единичного измерения:
m = \sqrt{\frac{\sum (H_i - \bar{H})^2}{n-1}}

Подставляем данные:
m = \sqrt{\frac{(32.184 - 32.175)^2 + (32.118 - 32.175)^2 + (32.179 - 32.175)^2 + (32.185 - 32.175)^2 + (32.189 - 32.175)^2 + (32.187 - 32.175)^2 + (32.183 - 32.175)^2}{6}}

Вычисляем:
m = \sqrt{\frac{(0.009)^2 + (-0.057)^2 + (0.004)^2 + (0.010)^2 + (0.014)^2 + (0.012)^2 + (0.008)^2}{6}}

m = \sqrt{\frac{0.000081 + 0.003249 + 0.000016 + 0.0001 + 0.000196 + 0.000144 + 0.000064}{6}}

m = \sqrt{\frac{0.00385}{6}} = \sqrt{0.000641} \approx 0.0253 м

3. Средняя ошибка:
m_{\bar{H}} = \frac{m}{\sqrt{n}}

m_{\bar{H}} = \frac{0.0253}{\sqrt{7}} = \frac{0.0253}{2.645} \approx 0.0096 м

4. Предельная ошибка:
\Delta = \pm 3m_{\bar{H}}

\Delta = \pm 3 \times 0.0096 = \pm 0.0288 м

Ответ:

• Среднее значение высоты: 32.175 м
• СКО: 0.0253 м
• Средняя ошибка: 0.0096 м
• Предельная ошибка: \pm 0.0288 м