Найти скорость тележки после прыжка. Трением пренебречь.

Предмет: Физика

Раздел: Законы сохранения (закон сохранения импульса)

Условие задачи:

На тележке массой 252 кг стоит человек массой 39 кг. Человек прыгает с тележки, и его скорость относительно тележки равна 7 м/с. Требуется найти скорость тележки после прыжка. Трением пренебречь.

Решение:

Используем закон сохранения импульса, так как внешние силы, влияющие на систему (трение), отсутствуют.

Система состоит из тележки и человека. До прыжка система находится в состоянии покоя, следовательно, её суммарный импульс равен нулю:

 p_{\text{система}} = m_{\text{человек}} \cdot v_{\text{человек}} + m_{\text{тележка}} \cdot v_{\text{тележка}} = 0. 

Обозначения:

• Масса тележки: m_{\text{тележка}} = 252 \, \text{кг},
• Масса человека: m_{\text{человек}} = 39 \, \text{кг},
• Скорость человека относительно тележки: v_{\text{человек/тележка}} = 7 \, \text{м/с},
• Скорость тележки после прыжка: v_{\text{тележка}} (ищем).

Скорость человека относительно земли:

Скорость человека относительно земли выражается как сумма его скорости относительно тележки и скорости тележки относительно земли:

v_{\text{человек}} = v_{\text{человек/тележка}} + v_{\text{тележка}}.

Закон сохранения импульса:

Суммарный импульс до прыжка равен нулю, значит, после прыжка:

 m_{\text{человек}} \cdot v_{\text{человек}} + m_{\text{тележка}} \cdot v_{\text{тележка}} = 0. 

Подставим v_{\text{человек}} = v_{\text{человек/тележка}} + v_{\text{тележка}}:

 m_{\text{человек}} \cdot (v_{\text{человек/тележка}} + v_{\text{тележка}}) + m_{\text{тележка}} \cdot v_{\text{тележка}} = 0. 

Раскроем скобки:

 m_{\text{человек}} \cdot v_{\text{человек/тележка}} + m_{\text{человек}} \cdot v_{\text{тележка}} + m_{\text{тележка}} \cdot v_{\text{тележка}} = 0. 

Сгруппируем члены с v_{\text{тележка}}:

 m_{\text{человек}} \cdot v_{\text{человек/тележка}} + (m_{\text{человек}} + m_{\text{тележка}}) \cdot v_{\text{тележка}} = 0. 

Выразим v_{\text{тележка}}:

 v_{\text{тележка}} = -\frac{m_{\text{человек}} \cdot v_{\text{человек/тележка}}}{m_{\text{человек}} + m_{\text{тележка}}}. 

Подставим значения:

 v_{\text{тележка}} = -\frac{39 \cdot 7}{39 + 252}. 

Выполним вычисления:

1. Сумма масс: 39 + 252 = 291 \, \text{кг},
2. Числитель: 39 \cdot 7 = 273 \, \text{кг} \cdot \text{м/с},
3. Деление: \frac{273}{291} \approx 0.938 \, \text{м/с}.

Знак минус означает, что тележка движется в противоположном направлении относительно прыжка человека.

Ответ:

Скорость тележки после прыжка:
v_{\text{тележка}} \approx 0.938 \, \text{м/с}.