Определить, на какой высоте от поверхности Земли находится спутник

Предмет: Физика
Раздел: Законы движения планет и искусственных спутников

Для определения высоты спутника используем третий закон Кеплера, который в общем виде записывается как:

$T^2=\frac{4{\pi }^2{r}^3}{GM}$

где:

• $T$ — период обращения спутника (3 ч = 10800 с),
• $r$ — расстояние от центра Земли до спутника,
• $G$ — гравитационная постоянная ($6.674\times {10}^{-11}{\text{ м}}^3{\text{кг}}^{-1}{\text{с}}^{-2}$),
• $M$ — масса Земли ($5.972\times {10}^{24}\text{ кг}$),
• $R$ — радиус Земли ($6.371\times {10}^6$ м).

Выразим $r$:

$r^3=\frac{GM{T}^2}{4{\pi }^2}$

Подставим числовые значения:

$r^3=\frac{(6.674\times {10}^{-11})(5.972\times {10}^{24})(10800{)}^2}{4{\pi }^2}$

Выполним вычисления:

$r^3\approx \frac{(3.985\times {10}^{14})(1.1664\times {10}^8)}{39.478}$

$r^3\approx \frac{4.647\times {10}^{22}}{39.478}\approx 1.177\times {10}^{21}$

Теперь извлекаем кубический корень:

$r\approx \sqrt[3]{1.177\times {10}^{21}}$

Приближенно:

$r\approx 1.07\times {10}^7\text{ м}$

Высота спутника над поверхностью Земли:

$h=r-R$

$h\approx (1.07\times {10}^7)-(6.371\times {10}^6)$

$h\approx 4.33\times {10}^6\text{ м}=4330\text{ км}$

Ответ: Спутник находится на высоте 4330 км от поверхности Земли.