Определить, на какой высоте от поверхности Земли находится спутник

Предмет: Физика
Раздел: Законы движения планет и искусственных спутников

Для определения высоты спутника используем третий закон Кеплера, который в общем виде записывается как:

 T^2 = \frac{4\pi^2 r^3}{GM} 

где:

• T — период обращения спутника (3 ч = 10800 с),
• r — расстояние от центра Земли до спутника,
• G — гравитационная постоянная (6.674 \times 10^{-11} \text{ м}^3\text{кг}^{-1}\text{с}^{-2}),
• M — масса Земли (5.972 \times 10^{24} \text{ кг}),
• R — радиус Земли (6.371 \times 10^6 м).

Выразим r:

 r^3 = \frac{GM T^2}{4\pi^2} 

Подставим числовые значения:

 r^3 = \frac{(6.674 \times 10^{-11}) (5.972 \times 10^{24}) (10800)^2}{4\pi^2} 

Выполним вычисления:

 r^3 \approx \frac{(3.985 \times 10^{14}) (1.1664 \times 10^8)}{39.478} 

 r^3 \approx \frac{4.647 \times 10^{22}}{39.478} \approx 1.177 \times 10^{21} 

Теперь извлекаем кубический корень:

 r \approx \sqrt[3]{1.177 \times 10^{21}} 

Приближенно:

 r \approx 1.07 \times 10^7 \text{ м} 

Высота спутника над поверхностью Земли:

 h = r - R 

 h \approx (1.07 \times 10^7) - (6.371 \times 10^6) 

 h \approx 4.33 \times 10^6 \text{ м} = 4330 \text{ км} 

Ответ: Спутник находится на высоте 4330 км от поверхности Земли.