Найти активность во времени

Это задание относится к предмету "Физика", разделу "Ядерная физика".

Дано: ядра \(^{210}Bi\) с периодом полураспада \(T_{1/2} = 4,33 \times 10^5\) лет превращаются в ядра \(^{210}Po\) с периодом полураспада \(T_{1/2} = 1,2 \times 10^7\) лет. Необходимо найти активность \(^{210}Po\) во времени.

1. Расчет постоянной распада для \(^{210}Bi\):

Используем формулу для постоянной распада:

\[\lambda = \frac{\ln(2)}{T_{1/2}}\]

Для \(^{210}Bi\):

\[\lambda_{Bi} = \frac{\ln(2)}{4,33 \times 10^5 \text{ лет}}\]

2. Перевод периода полураспада для \(^{210}Po\):

\[\lambda_{Po} = \frac{\ln(2)}{1,2 \times 10^7 \text{ лет}}\]

3. Активность (A):

Активность вещества рассчитывается по формуле:

\[A = \lambda N\]

где \(N\) — количество атомов, а \(\lambda\) — постоянная распада.

4. Зависимость во времени:

Активность \(^{210}Po\) можно найти через его накопление из \(^{210}Bi\). Используя закон радиоактивного распада:

\[N(t) = N_0 e^{-\lambda t}\]

5. Решение задачи по графику накопления и распада:

Динамика распада и накопления может быть выражена через следующие уравнения:

• Изменение числа атомов \(^{210}Bi\): \[N_{Bi}(t) = N_{Bi0} e^{-\lambda_{Bi} t}\]
• Накопление \(^{210}Po\) выражается как разность между распадом \(^{210}Bi\) и распадом \(^{210}Po\): \[\frac{dN_{Po}(t)}{dt} = \lambda_{Bi} N_{Bi}(t) - \lambda_{Po} N_{Po}(t)\]

6. Численный расчет:

Для начального момента времени \(t = 0\), активность \(^{210}Po\) равна нулю. С увеличением времени активность \(^{210}Po\) возрастет до стабилизации при значении \(A_{stable} = \lambda_{Bi} N_{Bi}\).

Для точного вычисления требуется численный метод интеграции, используя начальные условия, чтобы определить конкретные значения \(A_{Po}(t)\) для конкретного времени. Однако, основной принцип такой: с течением времени активность \(^{210}Po\) будет увеличиваться, поскольку новая масса образуется через распад \(^{210}Bi\), а самим \(^{210}Po\) распадаться медленнее.