Найти уравнение траектории движения точки, построить её и указать направление движения

Предмет: Физика. Раздел предмета: Механические колебания и волны, точнее — это задача на изучение движения материальной точки при наложении двух гармонических колебаний (суперпозиция колебаний).

Решение:

Итак, даны два уравнения колебаний по координатам \(x\) и \(y\):

\[ x = 2 \sin(\omega_0 t + \frac{\pi}{2}), \text{ и } y = 2 \sin(\omega_0 t), \]

где:

• \(x\) и \(y\) — координаты движения материальной точки,
• \(\omega_0\) — циклическая частота (у обоих колебаний она одинаковая),
• \(t\) — время (независимая переменная),
• другие параметры, такие как амплитуды, равны 2 см.

Нужно найти уравнение траектории движения точки, построить её и указать направление движения.

1. Уравнение траектории.

Чтобы избавиться от параметра \(t\) и получить уравнение траектории в координатах \(x\) и \(y\), выразим координаты \(x\) и \(y\) через стандартные тригонометрические функции без использования времени. Для этого выразим синусы в обеих формулах.

1. Уравнение для \(y\):

   \[ y = 2 \sin(\omega_0 t) \]

   Разделим обе части уравнения на 2:

   \[ \sin(\omega_0 t) = \frac{y}{2} \]

2. Уравнение для \(x\):

   \[ x = 2 \sin\left(\omega_0 t + \frac{\pi}{2}\right) \]

   Используем тригонометрическое тождество:

   \[ \sin\left(\theta + \frac{\pi}{2}\right) = \cos(\theta) \]

   Соответственно:

   \[ x = 2 \cos(\omega_0 t) \]

   Теперь можем получить выражение для \(\cos(\omega_0 t)\):

   \[ \cos(\omega_0 t) = \frac{x}{2} \]

Теперь применим основное тригонометрическое тождество:

\[ \sin^2(\omega_0 t) + \cos^2(\omega_0 t) = 1 \]

Подставим выражения через координаты \(x\) и \(y\):

\[ \left(\frac{y}{2}\right)^2 + \left(\frac{x}{2}\right)^2 = 1 \]

Упрощаем:

\[ \frac{y^2}{4} + \frac{x^2}{4} = 1 \]

Умножим обе части на 4:

\[ x^2 + y^2 = 4 \]

Уравнение траектории:

Это уравнение окружности радиуса 2 см с центром в начале координат (0,0).

2. Построение траектории.

Уравнение \(x^2 + y^2 = 4\) — это окружность радиуса 2 см с центром в точке (0, 0). Чтобы построить её с соблюдением масштаба:

• На осях \(x\) и \(y\) отметьте точки на расстоянии 2 см от начала координат (это будут точки (2,0), (-2,0), (0,2) и (0,-2)).
• Соедините эти точки плавной кривой в виде окружности.

3. Направление движения.

Чтобы определить направление движения, обратим внимание на то, как изменяются координаты при росте времени \(t\).

1. Для \(x = 2\cos(\omega_0 t)\):
   • Когда \(t = 0\), \(\cos(0) = 1\), и \(x = 2\).
   • При увеличении \(t\), значение \(\cos(\omega_0 t)\) убавляется до нуля при \(t = \frac{\pi}{2\omega_0}\) (т.е., точка сместится по оси \(x\) из точки (2, 0) к точке (0, 2), вверх).
2. Для \(y = 2 \sin(\omega_0 t)\):
   • Когда \(t = 0\), \(\sin(0) = 0\), значит, \(y = 0\).
   • При дальнейшем увеличении времени \(t\), \(\sin(\omega_0 t)\) возрастает, и точка перемещается вверх по окружности.

Ответ:

1. Уравнение траектории: \[ x^2 + y^2 = 4 \]
2. Траектория — это окружность радиуса 2 см с центром в начале координат (0, 0).
3. Направление движения — против часовой стрелки.

Следовательно, в начальный момент времени точка будет находиться в положении \(x = 2\), \(y = 0\) (точка на оси \(x\), справа от начала координат). При увеличении времени она будет двигаться против часовой стрелки вокруг окружности.