Написать уравнение поперечной волны, распространяющейся вдоль оси, если задано уравнение колебаний источника и скорость распространения волны

Предмет: Физика

Раздел: Волны и колебания

Задание: Написать уравнение поперечной волны, распространяющейся вдоль оси \( x \), если задано уравнение колебаний источника и скорость распространения волны.

Дано:

• Уравнение колебаний источника: \( y = 5 \sin(100 \pi t) \), где \( t \) — время в секундах, \( y \) — смещения (в сантиметрах).
• Скорость распространения волны \( v = 100 \) м/с = 10000 см/с.

Решение:

1. Форма уравнения поперечной волны:
   Поскольку волна распространяется в направлении оси \( x \), то уравнение волны записывается в виде (во временной и координатной зависимости):
   \[ y(x, t) = A \sin(\omega t - kx) \]
   где:
   • \( A \) — амплитуда волны (максимальное смещение),
   • \( \omega \) — круговая (угловая) частота,
   • \( k \) — волновое число (связано с длиной волны \( \lambda \)),
   • \( x \) — координата вдоль направления распространения волны,
   • \( t \) — время.
2. Нахождение амплитуды \( A \):
   Уравнение, данное в условии задания, \( y = 5 \sin(100 \pi t) \), показывает, что амплитуда колебаний источника равна \( 5 \) см. Следовательно:
   \[ A = 5 \, \text{см}. \]
3. Нахождение угловой частоты \( \omega \):
   Уравнение источника имеет вид \( y = 5 \sin(100 \pi t) \). Это сравниваем с уравнением гармонических колебаний \( y = A \sin(\omega t) \), где \( \omega \) — угловая частота. Из уравнения видно, что угловая частота равна:
   \[ \omega = 100 \pi \, \text{рад/с}. \]
4. Нахождение волнового числа \( k \):
   Волновое число \( k \) связано с длиной волны \( \lambda \) выражением:
   \[ k = \frac{2 \pi}{\lambda}. \]
   Для нахождения \( \lambda \), используем связь скорости волны \( v \), частоты \( f \), и длины волны:
   \[ v = \lambda f \quad \Rightarrow \quad \lambda = \frac{v}{f}. \]
   Частота \( f \) связана с угловой частотой следующим образом:
   \[ f = \frac{\omega}{2 \pi}. \]
   Подставим \( \omega = 100 \pi \) рад/с:
   \[ f = \frac{100 \pi}{2 \pi} = 50 \, \text{Гц}. \]
   Теперь найдем длину волны \( \lambda \):
   \[ \lambda = \frac{v}{f} = \frac{10000}{50} = 200 \, \text{см}. \]
   Следовательно, волновое число \( k \):
   \[ k = \frac{2 \pi}{\lambda} = \frac{2 \pi}{200} = \frac{\pi}{100} \, \text{рад/см}. \]
5. Записываем уравнение волны:
   Теперь, зная амплитуду \( A = 5\, \text{см} \), угловую частоту \( \omega = 100 \pi \, \text{рад/с} \), и волновое число \( k = \frac{\pi}{100} \, \text{рад/см} \), можем записать окончательное уравнение волны:
   \[ y(x,t) = 5 \sin(100 \pi t - \frac{\pi}{100} x). \]

Ответ: