Найти минимальную толщину пленки, при которой одно из условий — максимум или минимум — выполняется

Определим предмет и раздел задания.

Задача основывается на явлении интерференции света в тонких пленках. Для решения нужно учесть интерференцию волн на границах "воздух — пленка" и "пленка — воздух", а также условия максимума и минимума интерференции в зависимости от длины волны и толщины пленки.

Дано:

• Показатель преломления пленки \( n = 1.33 \).
• Длина волны, при которой наблюдается максимум отражения \( \lambda_1 = 0.64 \, \mu m \).
• Длина волны, при которой наблюдается минимум отражения \( \lambda_2 = 0.40 \, \mu m \).
• Угол падения света \( \theta = 30^\circ \).

Задача: найти минимальную толщину пленки, при которой одно из условий — максимум или минимум — выполняется.

Подход к решению:

Интерференция света в тонких пленках

Для слоя толщиной \( d \) на границе двух сред интерференционные максимумы и минимумы зависят от разности фаз, которая, в свою очередь, связана с оптической разностью хода волн. В данной задаче свет частично отражается от верхней и нижней границы пленки.

Условия для максимума и минимума:

1. Максимум отражения (конструктивная интерференция): Необходимо, чтобы разность фаз была кратна \( 2\pi \), т.е. выполняется условие: \[ 2n d \cos r = m \lambda_1. \] Здесь, \( m \) — целое число (порядок интерференции), \( r \) — угол преломления света в пленке, рассчитываемый по закону Снеллиуса.
2. Минимум отражения (деструктивная интерференция): Для полной деструктивной интерференции необходимо, чтобы разность фаз была кратна \( (2m + 1)\pi \), т.е. выполняется условие: \[ 2n d \cos r = (m' + \frac{1}{2})\lambda_2, \] где \( m' \) — целое число.

Законы преломления света (Закон Снеллиуса):

По закону Снеллиуса: \[ n_1 \sin \theta = n_2 \sin r, \] где:

• \( n_1 = 1 \) (показатель преломления воздуха),
• \( n_2 = n = 1.33 \) (показатель преломления пленки).

Для угла падения \( \theta = 30^\circ \): \[ \sin r = \frac{\sin 30^\circ}{1.33} = \frac{0.5}{1.33} \approx 0.376. \]

Теперь найдем угол преломления \( r \): \[ r = \arcsin(0.376) \approx 22.09^\circ. \]

Таким образом, \( \cos r \approx \cos 22.09^\circ \approx 0.927 \).

Условие для максимума отражения при \( \lambda_1 = 0.64 \, \mu m \):

\[ 2n d \cos r = m \lambda_1. \]

Подставляем известные значения: \[ 2 \cdot 1.33 \cdot d \cdot 0.927 = m \cdot 0.64 \, \mu m \quad \Longrightarrow \quad 2.464 d = m \cdot 0.64 \, \mu m. \]

Выразим толщину пленки \( d \): \[ d = \frac{m \cdot 0.64 \, \mu m}{2.464}. \]

Условие для минимума отражения при \( \lambda_2 = 0.40 \, \mu m \):

\[ 2n d \cos r = (m' + \frac{1}{2})\lambda_2. \]

Подставляем известные значения: \[ 2 \cdot 1.33 \cdot d \cdot 0.927 = \left( m' + \frac{1}{2} \right) \cdot 0.40 \, \mu m \quad \Longrightarrow \quad 2.464 d = \left( m' + \frac{1}{2} \right) \cdot 0.40 \, \mu m. \]

Выразим толщину пленки для деструктивной интерференции: \[ d = \frac{\left( m' + \frac{1}{2} \right) \cdot 0.40 \, \mu m}{2.464}. \]

Найдем минимальную толщину пленки:

Для минимальной толщины возьмем \( m = 1 \) и \( m' = 0 \) — это соответствуют первому максимуму и первому минимуму.

1. Для максимума (когда \( m = 1 \)): \[ d = \frac{1 \cdot 0.64 \, \mu m}{2.464} \approx 0.26 \, \mu m. \]
2. Для минимума (когда \( m' = 0 \)): \[ d = \frac{\left( 0 + \frac{1}{2} \right) \cdot 0.40 \, \mu m}{2.464} = \frac{0.20 \, \mu m}{2.464} \approx 0.081 \, \mu m. \]

Поскольку минимальная толщина, при которой одновременно выполняются условия для максимума отражения при \( \lambda_1 \) и минимума при \( \lambda_2 \), — это толщина \( d \approx 0.26 \, \mu m \).

Ответ:

Минимальная толщина пленки \( d \approx 0.26 \, \mu m \).