Найти длину волны света

Предмет: Физика

Раздел: Оптика

Это задача на интерференцию света в тонких пленках, а именно на кольца Ньютона. Кольца Ньютона образуются в результате интерференции света, отраженного от верхней и нижней поверхностей тонкой воздушной прослойки между линзой и стеклянной пластинкой.

Дано:

1. Радиус кривизны линзы: [R = 20 \, \text{см} = 0{,}2 \, \text{м} ].
2. Диаметры двух темных колец Ньютона:
   • Первое кольцо: [d_1 = 1 \, \text{мм} = 1 \cdot 10^{-3} \, \text{м} ],
   • Второе кольцо: [d_2 = 1{,}5 \, \text{мм} = 1{,}5 \cdot 10^{-3} \, \text{м} ].
3. Между этими кольцами лежат 4 темных кольца.

Найти: длину волны света [\lambda].

Теоретическое обоснование:

Для темных колец Ньютона радиус интерференционного кольца определяется формулой:
[r_n^2 = n \cdot \lambda \cdot R],
где:

• [r_n] — радиус [n]-го темного кольца,
• [n] — номер темного кольца,
• [\lambda] — длина волны света,
• [R] — радиус кривизны линзы.

Диаметр кольца [d_n] связан с радиусом [r_n] как:
[d_n = 2r_n \, \Rightarrow \, r_n = \frac{d_n}{2}].

Подставим радиус [r_n] в формулу для темных колец:
\left(\frac{d_n}{2}\right)^2 = n \cdot \lambda \cdot R.

Тогда:
[d_n^2 = 4n \cdot \lambda \cdot R].

Решение:

Пусть кольца с диаметрами [d_1] и [d_2] имеют номера [n_1] и [n_2]. Между ними лежат 4 темных кольца, значит:
[n_2 - n_1 = 4].

Из формулы для диаметра:
[d_1^2 = 4n_1 \cdot \lambda \cdot R],
[d_2^2 = 4n_2 \cdot \lambda \cdot R].

Вычтем первое уравнение из второго:
[d_2^2 - d_1^2 = 4(n_2 - n_1) \cdot \lambda \cdot R].

Подставим [n_2 - n_1 = 4]:
[d_2^2 - d_1^2 = 16 \cdot \lambda \cdot R].

Найдем [\lambda]:
[\lambda = \frac{d_2^2 - d_1^2}{16 \cdot R}].

Подставим значения:

• [d_1 = 1 \cdot 10^{-3} \, \text{м} \, \Rightarrow \, d_1^2 = (1 \cdot 10^{-3})^2 = 1 \cdot 10^{-6} \, \text{м}^2],
• [d_2 = 1{,}5 \cdot 10^{-3} \, \text{м} \, \Rightarrow \, d_2^2 = (1{,}5 \cdot 10^{-3})^2 = 2{,}25 \cdot 10^{-6} \, \text{м}^2],
• [R = 0{,}2 \, \text{м}].

Подставим в формулу:
[\lambda = \frac{2{,}25 \cdot 10^{-6} - 1 \cdot 10^{-6}}{16 \cdot 0{,}2} = \frac{1{,}25 \cdot 10^{-6}}{3{,}2} = 3{,}90625 \cdot 10^{-7} \, \text{м}].

Переведем в нанометры:
[\lambda = 390{,}6 \, \text{нм}].

Ответ:

Длина волны света [\lambda = 390{,}6 \, \text{нм}].