Оценить размер стороны квадрата a

Предмет: Физика

Раздел: Вероятностные методы в физике

Условие задачи:

На плоскость с нанесенной квадратной сеткой многократно бросается монета диаметра d. Установлено, что в 40% случаев монета не пересекает ни одной стороны квадрата. Требуется оценить размер стороны квадрата a.

Решение:

1. Условие пересечения монетой сторон квадрата:

Монета не пересекает стороны квадрата, если её центр находится на расстоянии не менее \frac{d}{2} от любой стороны квадрата. Это условие определяет область, внутри которой центр монеты может находиться.

Область внутри квадрата, где центр монеты может находиться, представляет собой квадрат меньшего размера со стороной a - d, вписанный внутрь исходного квадрата со стороной a.

2. Вероятность попадания центра монеты:

Вероятность того, что монета не пересечет стороны квадрата, пропорциональна отношению площадей квадрата, где центр монеты может находиться, к общей площади исходного квадрата:

 P = \frac{(a - d)^2}{a^2}. 

По условию задачи, P = 0.4. Подставим это значение:

 0.4 = \frac{(a - d)^2}{a^2}. 

3. Решение уравнения:

Распишем уравнение:

 (a - d)^2 = 0.4a^2. 

Извлечем квадратный корень:

 a - d = \sqrt{0.4} \cdot a. 

Вынесем a за скобки:

 a (1 - \sqrt{0.4}) = d. 

Выразим a:

 a = \frac{d}{1 - \sqrt{0.4}}. 

4. Упрощение выражения:

Посчитаем численное значение \sqrt{0.4} \approx 0.632. Тогда:

 a = \frac{d}{1 - 0.632} = \frac{d}{0.368} \approx 2.72d. 

Ответ:

Размер стороны квадрата a примерно равен a \approx 2.72d.