Оценить размер стороны квадрата a

Предмет: Физика

Раздел: Вероятностные методы в физике

Условие задачи:

На плоскость с нанесенной квадратной сеткой многократно бросается монета диаметра $d$. Установлено, что в 40% случаев монета не пересекает ни одной стороны квадрата. Требуется оценить размер стороны квадрата $a$.

Решение:

1. Условие пересечения монетой сторон квадрата:

Монета не пересекает стороны квадрата, если её центр находится на расстоянии не менее $\frac{d}{2}$ от любой стороны квадрата. Это условие определяет область, внутри которой центр монеты может находиться.

Область внутри квадрата, где центр монеты может находиться, представляет собой квадрат меньшего размера со стороной $a-d$, вписанный внутрь исходного квадрата со стороной $a$.

2. Вероятность попадания центра монеты:

Вероятность того, что монета не пересечет стороны квадрата, пропорциональна отношению площадей квадрата, где центр монеты может находиться, к общей площади исходного квадрата:

$P=\frac{(a-d{)}^2}{a^2}.$

По условию задачи, $P=0.4$. Подставим это значение:

$0.4=\frac{(a-d{)}^2}{a^2}.$

3. Решение уравнения:

Распишем уравнение:

$(a-d{)}^2=0.4a^2.$

Извлечем квадратный корень:

$a-d=\sqrt{0.4}\cdot a.$

Вынесем $a$ за скобки:

$a(1-\sqrt{0.4})=d.$

Выразим $a$:

$a=\frac{d}{1-\sqrt{0.4}}.$

4. Упрощение выражения:

Посчитаем численное значение $\sqrt{0.4}\approx 0.632$. Тогда:

$a=\frac{d}{1-0.632}=\frac{d}{0.368}\approx 2.72d.$

Ответ:

Размер стороны квадрата $a$ примерно равен $a\approx 2.72d$.