Определить токи в ветвях схемы

Предмет: Электротехника
Раздел: Анализ электрических цепей, включая нелинейные элементы

Условие задачи:

Нужно определить токи в ветвях схемы. На схеме присутствуют:

• Источник напряжения: U = 5 \text{ В}
• Резисторы: R_1 = 8 \text{ Ом}, R_2 = 4 \text{ Ом}
• Нелинейный элемент, ВАХ которого задана таблицей:

Обозначим:

• I_1 — ток через ветвь с резистором 8 \, \Omega и нелинейным элементом
• I_2 — ток через ветвь с резистором 4 \, \Omega

Анализ цепи:

Схема представляет собой параллельное соединение двух ветвей:

1. Левая ветвь: резистор R_1 = 8 \, \Omega последовательно с нелинейным элементом.
2. Правая ветвь: резистор R_2 = 4 \, \Omega.

Общее напряжение на каждой ветви — U = 5 \, \text{В}.

Правая ветвь (резистор 4 Ом):

I_2 = \frac{U}{R_2} = \frac{5}{4} = 1.25 \, \text{А}

Левая ветвь:

Пусть U_H — напряжение на нелинейном элементе, тогда на резисторе будет:

U_R = 5 - U_H

А ток через резистор:

I_1 = \frac{U_R}{8} = \frac{5 - U_H}{8}

С другой стороны, ток I_1 должен соответствовать значению из ВАХ при данном U_H.

Подбор по таблице ВАХ:

Из таблицы:

Подставим в формулу I_1 = \frac{5 - U_H}{8} для каждого значения:

1. При U_H = 0: I_1 = \frac{5 - 0}{8} = 0.625 — не совпадает
2. При U_H = 1: I_1 = \frac{5 - 1}{8} = 0.5 — не совпадает
3. При U_H = 2: I_1 = \frac{3}{8} = 0.375 — не совпадает
4. При U_H = 5: I_1 = \frac{0}{8} = 0 — не совпадает

Но при U_H = 5, I_1 = 0.35 по таблице, а по расчёту — 0. Значит, ток в этой точке — 0.35 А, но тогда I_1 = 0 — противоречие.

Найдём точку пересечения графиков:

График 1: I_1 = \frac{5 - U_H}{8}
График 2: Табличная зависимость I_1(U_H)

Проверим совпадение:

• При U_H = 2:
  I_1 = \frac{5 - 2}{8} = 0.375
  Табличное значение: 0.3 — близко, но не совпадает

• При U_H = 5:
  I_1 = 0
  Табличное значение: 0.35 — не совпадает

• При U_H = 4.2:
  I_1 = \frac{0.8}{8} = 0.1 — слишком мало

Найдём точку пересечения графически:

Пусть I_1 = \frac{5 - U_H}{8}
Из таблицы: при I_1 = 0.35, U_H = 5

Подставим в уравнение:
0.35 = \frac{5 - U_H}{8} \Rightarrow U_H = 5 - 8 \cdot 0.35 = 2.2

Но по таблице: при U_H = 2.2, I_1 должен быть между 0.3 и 0.35.

Это значит, что точка пересечения примерно при U_H \approx 2.2 \, \text{В}

Интерполяция:

Между точками (2 \, \text{В}, 0.3 \, \text{А}) и (5 \, \text{В}, 0.35 \, \text{А}):

Найдём линейную аппроксимацию:

 I(U_H) = 0.3 + \frac{0.35 - 0.3}{5 - 2} (U_H - 2) = 0.3 + \frac{1}{60}(U_H - 2) 

Приравняем к I_1 = \frac{5 - U_H}{8}:

 0.3 + \frac{1}{60}(U_H - 2) = \frac{5 - U_H}{8} 

Умножим обе части на 120:

 36 + 2(U_H - 2) = 15(5 - U_H) 

 36 + 2U_H - 4 = 75 - 15U_H 

 2U_H + 32 = 75 - 15U_H 

 17U_H = 43 \Rightarrow U_H \approx 2.53 \, \text{В} 

Теперь найдём ток:

I_1 = \frac{5 - 2.53}{8} \approx 0.31 \, \text{А}

Ответ:

• Ток в левой ветви (через 8 Ом и нелинейный элемент):
  I_1 \approx 0.31 \, \text{А}

• Ток в правой ветви (через 4 Ом):
  I_2 = \frac{5}{4} = 1.25 \, \text{А}

Если нужно, могу построить графики для наглядности.