Определить комплексные токи в цепи, А и построить векторную диаграмму токов и напряжений

Определим, к какому предмету относится данное задание:

Данное задание представляет собой задачу из раздела теории электрических цепей, которая изучается на таких дисциплинах, как электротехника или электрические цепи. Конкретный раздел — это расчет цепей переменного тока с комплексными сопротивлениями (импедансами), а также построение векторных диаграмм.

Решение:

Исходные данные:

• Напряжение $\text{(}U=100\text{B}\text{)}$
• $\text{(}{R}_1=6\mathrm{\Omega };X_1=8\mathrm{\Omega }\text{)}$
• $\text{(}{R}_2=3\mathrm{\Omega };X_2=7\mathrm{\Omega }\text{)}$
• $\text{(}{R}_3=2\mathrm{\Omega };X_3=2\mathrm{\Omega }\text{)}$

Данная цепь состоит из последовательной и параллельной комбинации активных и реактивных элементов.

Определение комплексных сопротивлений (импедансов):

Каждое сопротивление содержит активную $\text{(}R\text{)}$ и реактивную (индуктивное или емкостное) компоненту $\text{(}X\text{)}$. Соответствующие комплексные импедансы записываются как:

1. $\text{(}{Z}_1=R_1+j{X}_1=6+j8\mathrm{\Omega }\text{)}$
2. $\text{(}{Z}_2=R_2+j{X}_2=3+j7\mathrm{\Omega }\text{)}$
3. $\text{(}{Z}_3=R_3+j{X}_3=2+j2\mathrm{\Omega }\text{)}$

Определим полное сопротивление цепи:

1. Параллельное соединение $\text{(}{Z}_2\text{)}$ и $\text{(}{Z}_3\text{)}$:

Формула параллельного соединения сопротивлений: $\text{[}{Z}_{\text{п}}=\frac{Z_2\cdot Z_3}{Z_2+Z_3}\text{]}$

Рассчитаем сумму $\text{(}{Z}_2+Z_3\text{)}$:

$\text{[}{Z}_2+Z_3=(3+j7)+(2+j2)=5+j9\mathrm{\Omega }\text{]}$

Теперь умножим $\text{(}{Z}_2\cdot Z_3\text{)}$:

$\text{[}{Z}_2\cdot Z_3=(3+j7)\cdot (2+j2)=6+j6+j14-14=-8+j20\mathrm{\Omega }\text{]}$

Теперь найдем $\text{(}{Z}_{\text{п}}\text{)}$:

$\text{[}{Z}_{\text{п}}=\frac{-8+j20}{5+j9}\text{]}$

Найдем числитель этого деления, умножив на комплексно-сопряженное число $\text{(}5-j9\text{)}$:

$\text{[}{Z}_{\text{п}}=\frac{(-8+j20)\cdot (5-j9)}{(5+j9)\cdot (5-j9)}=\frac{-40+j72+j100+180}{5^2+9^2}=\frac{140+j28}{106}\approx 1.32+j0.26\mathrm{\Omega }\text{]}$

2. Полное сопротивление цепи:

Теперь, чтобы найти полное сопротивление цепи, нужно сложить последовательно $\text{(}{Z}_1\text{)}$ и $\text{(}{Z}_{\text{п}}\text{)}$:

$\text{[}{Z}_{\text{общ}}=Z_1+Z_{\text{п}}=(6+j8)+(1.32+j0.26)=7.32+j8.26\mathrm{\Omega }\text{]}$

Найдем полный ток:

Полный ток $\text{(}{I}_1\text{)}$ через всю цепь можно найти по закону Ома:

$\text{[}{I}_1=\frac{U}{Z_{\text{общ}}}=\frac{100}{7.32+j8.26}\text{]}$

Для удобства переведем $\text{(}{Z}_{\text{общ}}\text{)}$ в показательную форму. Найдем модуль и аргумент $\text{(}{Z}_{\text{общ}}\text{)}$:

$\text{[}|Z_{\text{общ}}|=\sqrt{{7.32}^2+{8.26}^2}\approx 11.08\mathrm{\Omega }\text{]}$

$\text{[}\phi =\text{atan}\left(\frac{8.26}{7.32}\right)\approx {48}^{\circ }\text{]}$

Теперь можем найти ток:

$\text{[}{I}_1=\frac{100}{11.08}\mathrm{\angle }-{48}^{\circ }\approx 9.03\mathrm{\angle }-{48}^{\circ }\text{А}\text{]}$

Найдем токи $\text{(}{I}_2\text{)}$ и $\text{(}{I}_3\text{)}$:

Ток $\text{(}{I}_2\text{)}$ через ветвь $\text{(}{Z}_2\text{)}$ и $\text{(}{I}_3\text{)}$ через ветвь $\text{(}{Z}_3\text{)}$ найдем по законам параллельной цепи:

1. Напряжение на параллельной части равно:

$\text{[}{U}_{\text{п}}=I_1\cdot Z_{\text{п}}=(9.03\mathrm{\angle }-{48}^{\circ })\cdot (1.32+j0.26)\text{]}$

Рассчитаем $\text{(}{U}_{\text{п}}\text{)}$:

$\text{[}{U}_{\text{п}}\approx 12\mathrm{\angle }-{48}^{\circ }\text{B}\text{]}$

2. Теперь найдём $\text{(}{I}_2\text{)}$ и $\text{(}{I}_3\text{)}$ с помощью закона Ома:

$\text{[}{I}_2=\frac{U_{\text{п}}}{Z_2}=\frac{12\mathrm{\angle }-{48}^{\circ }}{3+j7}=1.56\mathrm{\angle }-{116}^{\circ }\text{А}\text{]}$

$\text{[}{I}_3=\frac{U_{\text{п}}}{Z_3}=\frac{12\mathrm{\angle }-{48}^{\circ }}{2+j2}=3.12\mathrm{\angle }-{78.5}^{\circ }\text{А}\text{]}$

Построение векторной диаграммы:

1. Вектор напряжения $\text{(}U\text{)}$ горизонтальный.
2. Ток $\text{(}{I}_1\text{)}$ отстаёт от напряжения на угол $\text{(}{48}^{\circ }\text{)}$, так как реактивное сопротивление присутствует.
3. Токи $\text{(}{I}_2\text{)}$ и $\text{(}{I}_3\text{)}$ отстают от общего напряжения на другие углы (указанные выше).

Диаграмму можно построить следующим образом:

• Начнем с горизонтальной оси, вдоль которой откладываем напряжение.
• От него поворачиваем токи на соответствующие углы (тангенциально к напряжению).

Если желаете, могу сопроводить это текстовый результат и расчет изображением векторной диаграммы.