Определить комплексные токи в цепи, А и построить векторную диаграмму токов и напряжений

Определим, к какому предмету относится данное задание:

Данное задание представляет собой задачу из раздела теории электрических цепей, которая изучается на таких дисциплинах, как электротехника или электрические цепи. Конкретный раздел — это расчет цепей переменного тока с комплексными сопротивлениями (импедансами), а также построение векторных диаграмм.

Решение:

Исходные данные:

• Напряжение \( U = 100 \, \text{B} \)
• \( R_1 = 6 \, \Omega; \ X_1 = 8 \, \Omega \)
• \( R_2 = 3 \, \Omega; \ X_2 = 7 \, \Omega \)
• \( R_3 = 2 \, \Omega; \ X_3 = 2 \, \Omega \)

Данная цепь состоит из последовательной и параллельной комбинации активных и реактивных элементов.

Определение комплексных сопротивлений (импедансов):

Каждое сопротивление содержит активную \( R \) и реактивную (индуктивное или емкостное) компоненту \( X \). Соответствующие комплексные импедансы записываются как:

1. \( Z_1 = R_1 + jX_1 = 6 + j8 \, \Omega \)
2. \( Z_2 = R_2 + jX_2 = 3 + j7 \, \Omega \)
3. \( Z_3 = R_3 + jX_3 = 2 + j2 \, \Omega \)

Определим полное сопротивление цепи:

1. Параллельное соединение \( Z_2 \) и \( Z_3 \):

Формула параллельного соединения сопротивлений: \[ Z_{\text{п}} = \frac{Z_2 \cdot Z_3}{Z_2 + Z_3} \]

Рассчитаем сумму \( Z_2 + Z_3 \):

\[ Z_2 + Z_3 = (3 + j7) + (2 + j2) = 5 + j9 \, \Omega \]

Теперь умножим \( Z_2 \cdot Z_3 \):

\[ Z_2 \cdot Z_3 = (3 + j7) \cdot (2 + j2) = 6 + j6 + j14 - 14 = -8 + j20 \, \Omega \]

Теперь найдем \( Z_{\text{п}} \):

\[ Z_{\text{п}} = \frac{-8 + j20}{5 + j9} \]

Найдем числитель этого деления, умножив на комплексно-сопряженное число \( 5 - j9 \):

\[ Z_{\text{п}} = \frac{(-8 + j20) \cdot (5 - j9)}{(5 + j9) \cdot (5 - j9)} = \frac{-40 + j72 + j100 + 180}{5^2 + 9^2} = \frac{140 + j28}{106} \approx 1.32 + j0.26 \, \Omega \]

2. Полное сопротивление цепи:

Теперь, чтобы найти полное сопротивление цепи, нужно сложить последовательно \( Z_1 \) и \( Z_{\text{п}} \):

\[ Z_{\text{общ}} = Z_1 + Z_{\text{п}} = (6 + j8) + (1.32 + j0.26) = 7.32 + j8.26 \, \Omega \]

Найдем полный ток:

Полный ток \( I_1 \) через всю цепь можно найти по закону Ома:

\[ I_1 = \frac{U}{Z_{\text{общ}}} = \frac{100}{7.32 + j8.26} \]

Для удобства переведем \( Z_{\text{общ}} \) в показательную форму. Найдем модуль и аргумент \( Z_{\text{общ}} \):

\[ |Z_{\text{общ}}| = \sqrt{7.32^2 + 8.26^2} \approx 11.08 \, \Omega \]

\[ \varphi = \text{atan}\left(\frac{8.26}{7.32}\right) \approx 48^\circ \]

Теперь можем найти ток:

\[ I_1 = \frac{100}{11.08} \angle -48^\circ \approx 9.03 \angle -48^\circ \, \text{А} \]

Найдем токи \( I_2 \) и \( I_3 \):

Ток \( I_2 \) через ветвь \( Z_2 \) и \( I_3 \) через ветвь \( Z_3 \) найдем по законам параллельной цепи:

1. Напряжение на параллельной части равно:

\[ U_{\text{п}} = I_1 \cdot Z_{\text{п}} = (9.03 \angle -48^\circ) \cdot (1.32 + j0.26) \]

Рассчитаем \( U_{\text{п}} \):

\[ U_{\text{п}} \approx 12 \angle -48^\circ \, \text{B} \]

2. Теперь найдём \( I_2 \) и \( I_3 \) с помощью закона Ома:

\[ I_2 = \frac{U_{\text{п}}}{Z_2} = \frac{12 \angle -48^\circ}{3 + j7} = 1.56 \angle -116^\circ \, \text{А} \]

\[ I_3 = \frac{U_{\text{п}}}{Z_3} = \frac{12 \angle -48^\circ}{2 + j2} = 3.12 \angle -78.5^\circ \, \text{А} \]

Построение векторной диаграммы:

1. Вектор напряжения \( U \) горизонтальный.
2. Ток \( I_1 \) отстаёт от напряжения на угол \( 48^\circ \), так как реактивное сопротивление присутствует.
3. Токи \( I_2 \) и \( I_3 \) отстают от общего напряжения на другие углы (указанные выше).

Диаграмму можно построить следующим образом:

• Начнем с горизонтальной оси, вдоль которой откладываем напряжение.
• От него поворачиваем токи на соответствующие углы (тангенциально к напряжению).

Если желаете, могу сопроводить это текстовый результат и расчет изображением векторной диаграммы.