Найти дисперсию теплового шума резистора, прошедшего через идеальный фильтр низких частот с полосой пропускания на выходе CR-цепи

Предмет: Физика
Раздел: Электроника / Теория электрических цепей / Шум в электрических цепях

Задание: Найти дисперсию (среднеквадратичное значение) теплового шума резистора сопротивлением [R = 10\ \text{кОм}] при температуре [t = +20^\circ C], прошедшего через идеальный фильтр низких частот (ФНЧ) с полосой пропускания [\delta f], на выходе CR-цепи.

Теория

Тепловой шум (также называемый шумом Джонсона-Найквиста) — это шум, возникающий вследствие теплового движения носителей заряда в резисторе. Спектральная плотность мощности теплового шума равна:

S_u(f) = 4kTR

где:

• k = 1.38 \cdot 10^{-23}\ \text{Дж/К} — постоянная Больцмана,
• T — абсолютная температура в Кельвинах,
• R — сопротивление резистора в Ом.

Дисперсия напряжения шума на выходе идеального ФНЧ с полосой пропускания [\delta f] равна:

\sigma^2 = \int_0^{\delta f} S_u(f)\,df = 4kTR \cdot \delta f

Шаг 1: Перевод температуры в Кельвины

Температура дана: [t = 20^\circ C]

Переводим в Кельвины:

T = t + 273.15 = 293.15\ \text{K}

Шаг 2: Подстановка значений

Дано:

• R = 10\ \text{k}\Omega = 10^4\ \Omega
• T = 293.15\ \text{K}
• \delta f — оставим как переменную, т.к. точное значение не указано.

Подставим в формулу дисперсии:

\sigma^2 = 4 \cdot (1.38 \cdot 10^{-23}) \cdot 293.15 \cdot 10^4 \cdot \delta f

Вычислим числовой коэффициент:

 \sigma^2 = (4 \cdot 1.38 \cdot 293.15 \cdot 10^4) \cdot 10^{-23} \cdot \delta f 

 \sigma^2 \approx (4 \cdot 1.38 \cdot 293.15) \cdot 10^{-19} \cdot \delta f 

Вычислим:

 4 \cdot 1.38 \cdot 293.15 \approx 1618.57 

Итак:

 \sigma^2 \approx 1.61857 \cdot 10^{-19} \cdot \delta f\ \text{[В}^2\text{]} 

Ответ

Дисперсия напряжения теплового шума на выходе идеального ФНЧ с полосой пропускания [\delta f] составляет:

\sigma^2 \approx 1.62 \cdot 10^{-19} \cdot \delta f\ \text{[В}^2\text{]}

Если известна конкретная полоса пропускания [\delta f], подставьте ее в формулу, чтобы получить численное значение.