Требуется найти активную мощность P, реактивную мощность Q и полную мощность S для каждого приёмника и для всей цепи

Предмет: Электротехника
Раздел: Трёхфазные цепи, расчет мощности в трёхфазных системах

Дано:

• Линейное напряжение трёхфазной сети U = 400 В
• Сопротивления приёмников, соединённых треугольником:
  Z_{ab} = j20 \, \Omega
  Z_{bc} = 20 \, \Omega
  Z_{ca} = j20 \, \Omega

Требуется найти активную мощность P, реактивную мощность Q и полную мощность S для каждого приёмника и для всей цепи.

Шаг 1. Определение фазных напряжений

При соединении нагрузки треугольником фазное напряжение на каждой фазе равно линейному напряжению сети, то есть:
U_{ф} = U_{л} = 400 В

Шаг 2. Определение токов в каждой фазе нагрузки

Ток в каждой фазе нагрузки вычисляется по закону Ома:
I_{ф} = \frac{U_{ф}}{Z_{ф}}

Подставим значения:

• Для Z_{ab} = j20 \, \Omega
  I_{ab} = \frac{400}{j20} = \frac{400}{j20} = -j20 \, A
  (так как \frac{1}{j} = -j)

• Для Z_{bc} = 20 \, \Omega
  I_{bc} = \frac{400}{20} = 20 \, A

• Для Z_{ca} = j20 \, \Omega
  I_{ca} = \frac{400}{j20} = -j20 \, A

Шаг 3. Вычисление мощностей для каждого приёмника

Активная мощность:
P = U_{ф} \cdot I_{ф} \cdot \cos \varphi

Реактивная мощность:
Q = U_{ф} \cdot I_{ф} \cdot \sin \varphi

Полная мощность:
S = U_{ф} \cdot I_{ф}

Для этого надо найти угол сдвига фазы тока и напряжения (угол \varphi) для каждого сопротивления.

Шаг 4. Определение угла сдвига фазы для каждого сопротивления

Сопротивление комплексное:
Z = R + jX

Фаза тока относительно напряжения:
\varphi = \arg(Z) = \arctan\left(\frac{X}{R}\right)

• Для Z_{ab} = j20 \Rightarrow R=0, X=20
  \varphi_{ab} = \arctan(\infty) = 90^\circ
  (ток отстает на 90°, так как индуктивное сопротивление)

• Для Z_{bc} = 20 \Rightarrow R=20, X=0
  \varphi_{bc} = \arctan(0) = 0^\circ
  (ток и напряжение совпадают по фазе)

• Для Z_{ca} = j20 \Rightarrow \varphi_{ca} = 90^\circ
  (аналогично Z_{ab})

Шаг 5. Вычисление мощностей для каждого приёмника

Используем модуль тока:

• |I_{ab}| = \frac{400}{20} = 20 \, A
• |I_{bc}| = 20 \, A
• |I_{ca}| = 20 \, A

Для Z_{ab}:
P_{ab} = 400 \cdot 20 \cdot \cos 90^\circ = 0 \, W
Q_{ab} = 400 \cdot 20 \cdot \sin 90^\circ = 8000 \, VAR
S_{ab} = 400 \cdot 20 = 8000 \, VA

Для Z_{bc}:
P_{bc} = 400 \cdot 20 \cdot \cos 0^\circ = 8000 \, W
Q_{bc} = 400 \cdot 20 \cdot \sin 0^\circ = 0 \, VAR
S_{bc} = 400 \cdot 20 = 8000 \, VA

Для Z_{ca}:
P_{ca} = 400 \cdot 20 \cdot \cos 90^\circ = 0 \, W
Q_{ca} = 400 \cdot 20 \cdot \sin 90^\circ = 8000 \, VAR
S_{ca} = 400 \cdot 20 = 8000 \, VA

Шаг 6. Итоговые мощности всей цепи

Активная мощность всей нагрузки:
P_{общ} = P_{ab} + P_{bc} + P_{ca} = 0 + 8000 + 0 = 8000 \, W

Реактивная мощность всей нагрузки:
Q_{общ} = Q_{ab} + Q_{bc} + Q_{ca} = 8000 + 0 + 8000 = 16000 \, VAR

Полная мощность всей нагрузки:
S_{общ} = \sqrt{P_{общ}^2 + Q_{общ}^2} = \sqrt{8000^2 + 16000^2} = \sqrt{64 \times 10^6 + 256 \times 10^6} = \sqrt{320 \times 10^6} = 17888 \, VA

Ответ:

Для всей цепи:
P_{общ} = 8000 \, W
Q_{общ} = 16000 \, VAR
S_{общ} = 17888 \, VA

Если есть вопросы по промежуточным шагам — спрашивайте!