Рассчитать мнимую часть амплитудного значения комплексного тока, мгновенное значение которого задано уравнением

Предмет: Электротехника
Раздел: Комплексные числа в анализе электрических цепей

Задание:

Рассчитать мнимую часть амплитудного значения комплексного тока, мгновенное значение которого задано уравнением:

i(t) = 7 \sin(314 t + \varphi), где \varphi = -150^\circ.

Решение:

1. Представление мгновенного значения через косинус:

Мгновенное значение синусоидальной функции можно записать через косинус, так как:

\sin(x) = \cos(x - 90^\circ).

Следовательно, уравнение примет вид:

i(t) = 7 \cos(314 t - 90^\circ - 150^\circ).

Упростим фазу:

-90^\circ - 150^\circ = -240^\circ.

Таким образом, уравнение становится:

i(t) = 7 \cos(314 t - 240^\circ).

2. Определение амплитудного значения в комплексной форме:

Амплитудное значение тока в комплексной форме выражается как:

I = I_m e^{j\varphi},

где I_m = 7 — амплитуда, а \varphi = -240^\circ — фаза.

Переведем угол в радианы:

\varphi = -240^\circ = -\frac{4\pi}{3} \, \text{рад}.

Комплексное амплитудное значение:

I = 7 \cdot (\cos(-\frac{4\pi}{3}) + j \sin(-\frac{4\pi}{3})).

3. Вычисление мнимой части:

Для угла \varphi = -\frac{4\pi}{3} (или -240^\circ) значения тригонометрических функций равны:

• \cos(-\frac{4\pi}{3}) = -\frac{1}{2},
• \sin(-\frac{4\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}.

Подставляем в выражение для I:

I = 7 \cdot \left(-\frac{1}{2} + j \frac{\sqrt{3}}{2}\right).

Мнимая часть:

\text{Im}(I) = 7 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{7\sqrt{3}}{2}.

Ответ:

Мнимая часть амплитудного значения комплексного тока:

\frac{7\sqrt{3}}{2}.