Рассчитать минимальную часть действующего значения комплексного тока

Предмет: Электротехника

Раздел: Анализ переменных токов (комплексные числа)

Задание:

Рассчитать минимальную часть действующего значения комплексного тока, которому соответствует мгновенное значение ( i ), заданное выражением:
[ i = 2,8 \sin(314t + 120^\circ) ].
Ответ указать с учетом знака.

Решение:

1. Общее уравнение мгновенного значения переменного тока: Мгновенное значение переменного тока записывается в виде:
   [ i(t) = I_m \sin(\omega t + \varphi), ]
   где:

   • ( I_m ) — амплитудное значение тока,
   • ( \omega ) — угловая частота,
   • ( \varphi ) — начальная фаза.

2. В данном случае:
   [ I_m = 2,8, \quad \omega = 314, \quad \varphi = 120^\circ = \frac{2\pi}{3} \, \text{рад}. ]

3. Связь амплитудного значения с действующим значением: Действующее значение переменного тока ( I ) связано с амплитудным значением ( I_m ) следующим образом:
   [ I = \frac{I_m}{\sqrt{2}}. ]

   Подставляем ( I_m = 2,8 ):
   [ I = \frac{2,8}{\sqrt{2}} = \frac{2,8}{1,414} \approx 1,98 \, \text{А}. ]

4. Комплексная форма записи: Комплексная форма записи переменного тока:
   [ \tilde{I} = I e^{j\varphi}, ]
   где ( I ) — действующее значение тока, а ( \varphi ) — начальная фаза.

   Подставляем:
   [ \tilde{I} = 1,98 e^{j\frac{2\pi}{3}}. ]

   В алгебраической форме:
   [ \tilde{I} = 1,98 \left( \cos\frac{2\pi}{3} + j\sin\frac{2\pi}{3} \right). ]

   Значения тригонометрических функций:
   [ \cos\frac{2\pi}{3} = -\frac{1}{2}, \quad \sin\frac{2\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}. ]

   Тогда:
   [ \tilde{I} = 1,98 \left( -\frac{1}{2} + j\frac{\sqrt{3}}{2} \right) = -0,99 + j1,71. ]

5. Минимальная часть действующего значения: Минимальная часть соответствует действительной части комплексного тока, то есть:
   [ \text{Re}(\tilde{I}) = -0,99 \, \text{А}. ]

Ответ:

[ \boxed{-0,99 \, \text{А}}. ]