Расчет симметричных четырехполюсников

Предмет: Теория электрических цепей
Раздел: Расчет симметричных четырехполюсников

Для симметричного четырехполюсника постоянная передачи ( K ) рассчитывается по формуле:

$K=\ln \left(\sqrt{A^2-B\cdot C}\right)+j\cdot \frac{\pi }{2},$

где:

• ( A ) — коэффициент передачи,
• ( B ) — коэффициент, характеризующий сопротивление,
• ( C ) — коэффициент, характеризующий проводимость,
• ( j ) — мнимая единица.

Дано:

$A=0,085,B=j0,181,C=0,2e^{j{115}^{\circ }}.$

Для расчета необходимо:

1. Перевести ( C ) в алгебраическую форму.
2. Вычислить ( A^2 - B \cdot C ).
3. Найти натуральный логарифм.
4. Округлить результат до сотых.

Шаг 1: Перевод ( C ) в алгебраическую форму

Коэффициент ( C = 0,2e^{j115^\circ} ) представлен в экспоненциальной форме. Для перевода в алгебраическую форму используем формулы Эйлера:
$e^{j\varphi }=\cos \varphi +j\sin \varphi .$

Таким образом:
$C=0,2\cdot (\cos {115}^{\circ }+j\sin {115}^{\circ }).$

Считаем значения:
$\cos {115}^{\circ }\approx -0,4226,\sin {115}^{\circ }\approx 0,9063.$

Тогда:
$C\approx 0,2\cdot (-0,4226+j0,9063)\approx -0,0845+j0,1813.$

Шаг 2: Вычисление $A^2-B\cdot C$

Теперь вычислим $A^2$ и $B\cdot C$:

1. $A^2=(0,085{)}^2=0,007225.$
2. $B\cdot C=(j0,181)\cdot (-0,0845+j0,1813).$

Рассчитаем произведение:
$B\cdot C=j0,181\cdot (-0,0845)+j0,181\cdot j0,1813=-j0,0153-0,0328.$

Итак:
$B\cdot C\approx -0,0328-j0,0153.$

Теперь вычислим $A^2-B\cdot C$:
$A^2-B\cdot C=0,007225-(-0,0328-j0,0153)=0,007225+0,0328+j0,0153.$

Результат:
$A^2-B\cdot C\approx 0,040025+j0,0153.$

Шаг 3: Вычисление модуля $\sqrt{A^2-B\cdot C}$

Модуль комплексного числа:
$|z|=\sqrt{{\text{Re}}^2+{\text{Im}}^2}.$

Для $z=0,040025+j0,0153$:
$|z|=\sqrt{(0,040025{)}^2+(0,0153{)}^2}\approx \sqrt{0,001601+0,000234}\approx \sqrt{0,001835}\approx 0,04285.$

Шаг 4: Вычисление логарифма

$K=\ln (0,04285)+j\frac{\pi }{2}.$

Найдем натуральный логарифм:
$\ln (0,04285)\approx -3,146.$

Итак:
$K\approx -3,15+j\frac{\pi }{2}.$

Окончательный ответ:

$K\approx -3,15.$