Расчет симметричных четырехполюсников

Предмет: Теория электрических цепей
Раздел: Расчет симметричных четырехполюсников

Для симметричного четырехполюсника постоянная передачи ( K ) рассчитывается по формуле:

K = \ln\left(\sqrt{A^2 - B \cdot C}\right) + j \cdot \frac{\pi}{2},

где:

• ( A ) — коэффициент передачи,
• ( B ) — коэффициент, характеризующий сопротивление,
• ( C ) — коэффициент, характеризующий проводимость,
• ( j ) — мнимая единица.

Дано:

A = 0,085, \, B = j0,181, \, C = 0,2e^{j115^\circ}.

Для расчета необходимо:

1. Перевести ( C ) в алгебраическую форму.
2. Вычислить ( A^2 - B \cdot C ).
3. Найти натуральный логарифм.
4. Округлить результат до сотых.

Шаг 1: Перевод ( C ) в алгебраическую форму

Коэффициент ( C = 0,2e^{j115^\circ} ) представлен в экспоненциальной форме. Для перевода в алгебраическую форму используем формулы Эйлера:
e^{j\phi} = \cos\phi + j\sin\phi.

Таким образом:
 C = 0,2 \cdot (\cos115^\circ + j\sin115^\circ). 

Считаем значения:
\cos115^\circ \approx -0,4226, \, \sin115^\circ \approx 0,9063.

Тогда:
 C \approx 0,2 \cdot (-0,4226 + j0,9063) \approx -0,0845 + j0,1813. 

Шаг 2: Вычисление A^2 - B \cdot C

Теперь вычислим A^2 и B \cdot C:

1. A^2 = (0,085)^2 = 0,007225.
2. B \cdot C = (j0,181) \cdot (-0,0845 + j0,1813).

Рассчитаем произведение:
 B \cdot C = j0,181 \cdot (-0,0845) + j0,181 \cdot j0,1813 = -j0,0153 - 0,0328. 

Итак:
 B \cdot C \approx -0,0328 - j0,0153. 

Теперь вычислим A^2 - B \cdot C:
 A^2 - B \cdot C = 0,007225 - (-0,0328 - j0,0153) = 0,007225 + 0,0328 + j0,0153. 

Результат:
 A^2 - B \cdot C \approx 0,040025 + j0,0153. 

Шаг 3: Вычисление модуля \sqrt{A^2 - B \cdot C}

Модуль комплексного числа:
 |z| = \sqrt{\text{Re}^2 + \text{Im}^2}. 

Для z = 0,040025 + j0,0153:
 |z| = \sqrt{(0,040025)^2 + (0,0153)^2} \approx \sqrt{0,001601 + 0,000234} \approx \sqrt{0,001835} \approx 0,04285. 

Шаг 4: Вычисление логарифма

 K = \ln(0,04285) + j\frac{\pi}{2}. 

Найдем натуральный логарифм:
\ln(0,04285) \approx -3,146.

Итак:
 K \approx -3,15 + j\frac{\pi}{2}. 

Окончательный ответ:

K \approx -3,15.