Определить величину тока, обозначенного на схеме как i. используя метод эквивалентного преобразования треугольник-звезда

Данная задача относится к предмету "Теоретические основы электротехники" (ТОЭ), разделу "Расчет электрических цепей постоянного тока", а также касается применения метода эквивалентного преобразования "треугольник-звезда". Рассмотрим, как решать задачу шаг за шагом:

Условие задачи

Нам дана электрическая цепь с известными номиналами элементов:

• \( R_1 = 2 \text{ кОм} \)
• \( R_2 = 5 \text{ кОм} \)
• \( R_3 = 3 \text{ кОм} \)
• \( R_4 = 10 \text{ кОм} \)
• \( R_5 = 5 \text{ кОм} \)
• \( R_6 = 5 \text{ кОм} \)
• \( R_7 = 3 \text{ кОм} \)
• ЭДС \( E = 37 \text{ В} \)

Нужно определить величину тока, обозначенного на схеме как \( i \), используя метод эквивалентного преобразования "треугольник-звезда".

Шаг 1: Найдем эквивалентные сопротивления

Схема содержит замкнутый контур с резисторами \( R_2, R_4, R_5, R_6 \), образующими так называемый «треугольник». Для упрощения цепи применим метод преобразования «треугольник-звезда» к этому участку схемы. Применим эквивалентное преобразование к сопротивлениям \( R_4, R_5, R_6 \), формирующим треугольник, и получим их эквиваленты в виде схемы звезды. Формулы для преобразования сопротивлений следующие:

\[ R_a = \frac{R_4 R_5}{R_4 + R_5 + R_6},\quad R_b = \frac{R_5 R_6}{R_4 + R_5 + R_6},\quad R_c = \frac{R_4 R_6}{R_4 + R_5 + R_6} \]

Подставим значения сопротивлений:

\[ R_a = \frac{10 \cdot 5}{10 + 5 + 5} = \frac{50}{20} = 2.5 \text{ кОм} \]

\[ R_b = \frac{5 \cdot 5}{10 + 5 + 5} = \frac{25}{20} = 1.25 \text{ кОм} \]

\[ R_c = \frac{10 \cdot 5}{10 + 5 + 5} = \frac{50}{20} = 2.5 \text{ кОм} \]

Шаг 2: Пересоберем схему

Теперь мы заменили треугольник сопротивлений эквивалентной звездой. В результате:

• \( R_4, R_5, R_6 \) заменяются на новые эквивалентные сопротивления \( R_a, R_b, R_c \).
• Далее пересчитаем всю цепь аналогично.

Шаг 3: Эквивалентное сопротивление всей цепи

Теперь определим сопротивление между точками, где подключена ЭДС. Для этого сначала нужно сложить последовательно и параллельно соединенные резисторы.

1. \( R_a \) и \( R_3 \) соединены последовательно:

\[ R_{a3} = R_a + R_3 = 2.5 + 3 = 5.5 \text{ кОм} \]

2. \( R_b \), \( R_1 \) и \( R_7 \) соединены последовательно:

\[ R_{b17} = R_b + R_1 + R_7 = 1.25 + 2 + 3 = 6.25 \text{ кОм} \]

Теперь сложим эти сопротивления параллельно:

\[ R_{\text{экв}} = \frac{R_{a3} R_{b17}}{R_{a3} + R_{b17}} = \frac{5.5 \cdot 6.25}{5.5 + 6.25} = \frac{34.375}{11.75} \approx 2.93 \text{ кОм} \]

Шаг 4: Рассчитаем ток

Напряжение источника ЭДС равно \( E = 37 \text{ В} \). Эквивалентное сопротивление цепи равно \( R_{\text{экв}} \approx 2.93 \text{ кОм} \). Тогда ток в цепи \( i \) можно определить по закону Ома:

\[ i = \frac{E}{R_{\text{экв}}} = \frac{37}{2.93} \approx 12.63 \text{ мА} \]

Ответ

Ток в цепи \( i \approx 12.63 \text{ мА} \).