Определить постоянную передачи симметричного четырехполюсника с заданными коэффициентами

Предмет: Электротехника

Раздел: Теория цепей

Задача:

Определить постоянную передачи симметричного четырехполюсника с заданными коэффициентами.

Дано:
Коэффициенты симметричного четырехполюсника:
A = 0,06 + j0,344,
B = C = -0,06 + j0,344.

Формула для постоянной передачи (K):
K = \ln\left(A + \sqrt{A^2 - BC}\right),
где A, B, и C — коэффициенты четырехполюсника.

Решение:

1. Подставим значения коэффициентов:
   A = 0,06 + j0,344,
   B = C = -0,06 + j0,344.

2. Найдем A^2:
   A^2 = (0,06 + j0,344)^2.
   Используем формулу для квадрата комплексного числа:
   (a + jb)^2 = a^2 - b^2 + 2abj.
   Подставим:
   A^2 = (0,06)^2 - (0,344)^2 + 2(0,06)(0,344)j,
   A^2 = 0,0036 - 0,118336 + j0,04128,
   A^2 = -0,114736 + j0,04128.

3. Найдем BC:
   BC = (-0,06 + j0,344)(-0,06 + j0,344).
   Используем формулу для произведения комплексных чисел:
   (a + jb)(c + jd) = (ac - bd) + (ad + bc)j.
   Подставим:
   BC = (-0,06)(-0,06) - (0,344)(0,344) + ((-0,06)(0,344) + (0,344)(-0,06))j,
   BC = 0,0036 - 0,118336 - j0,04128,
   BC = -0,114736 - j0,04128.

4. Найдем A^2 - BC:
   A^2 - BC = (-0,114736 + j0,04128) - (-0,114736 - j0,04128),
   A^2 - BC = -0,114736 + j0,04128 + 0,114736 + j0,04128,
   A^2 - BC = j0,08256.

5. Найдем корень \sqrt{A^2 - BC}:
   Корень из чисто мнимого числа jX равен:
   \sqrt{jX} = \pm\sqrt{\frac{|X|}{2}} + j\sqrt{\frac{|X|}{2}}, где X > 0.
   Подставим:
   \sqrt{j0,08256} = \pm\sqrt{\frac{0,08256}{2}} + j\sqrt{\frac{0,08256}{2}},
   \sqrt{j0,08256} = \pm\sqrt{0,04128} + j\sqrt{0,04128},
   \sqrt{j0,08256} = \pm0,2032 + j0,2032.

6. Найдем A + \sqrt{A^2 - BC}:
   Выберем положительный корень:
   A + \sqrt{A^2 - BC} = (0,06 + j0,344) + (0,2032 + j0,2032),
   A + \sqrt{A^2 - BC} = 0,2632 + j0,5472.

7. Найдем модуль |A + \sqrt{A^2 - BC}|:
   |A + \sqrt{A^2 - BC}| = \sqrt{(0,2632)^2 + (0,5472)^2},
   |A + \sqrt{A^2 - BC}| = \sqrt{0,06927 + 0,29943},
   |A + \sqrt{A^2 - BC}| = \sqrt{0,3687} \approx 0,6072.

8. Найдем угол \phi:
   \phi = \arctan\left(\frac{\text{Im}}{\text{Re}}\right),
   \phi = \arctan\left(\frac{0,5472}{0,2632}\right),
   \phi \approx 1,125 \, \text{рад}.

9. Найдем K:
   K = \ln|A + \sqrt{A^2 - BC}| + j\phi,
   K = \ln(0,6072) + j1,125,
   K \approx -0,499 + j1,125.

Вывод:

Ни один из предложенных вариантов ответа не совпадает с рассчитанным значением.