Определить активную (P) и реактивную (Q) мощности для цепи переменного тока, задав параметры тока и напряжения

Предмет: Электротехника

Раздел предмета: Комплексная мощность в цепях переменного тока

Задача: Нужно определить активную (P) и реактивную (Q) мощности для цепи переменного тока, задав параметры тока и напряжения.

Даны:

• Ток: \( i = 4 \cdot \sin(\omega t - 45^\circ) \, A \)
• Напряжение: \( u = 100 \cdot \sin(\omega t - 45^\circ) \, V \)

Решение:

1. Активная и реактивная мощности.

   Мощности в цепях синусоидального тока могут быть выражены через активную и реактивную мощности. Для определения этих мощностей нам потребуется вид мощности в цепи переменного тока:

   • Активная мощность — это мощность, которая преобразуется в полезную работу, измеряется в ваттах (Вт) и определяется как:
     \[ P = \frac{U_{эфф} I_{эфф}}{2} \cdot \cos(\varphi) \]
     где:
     • \( U_{эфф} \) — эффективное значение напряжения;
     • \( I_{эфф} \) — эффективное значение тока;
     • \( \varphi \) — сдвиг фаз между током и напряжением.
   • Реактивная мощность — это мощность, которая идет на создание магнитных и электрических полей, измеряется в вольт-амперах реактивных (Вар) и определяется как:
     \[ Q = \frac{U_{эфф} I_{эфф}}{2} \cdot \sin(\varphi) \]
2. Эффективные значения тока и напряжения.

   Эффективные значения токов и напряжений для синусоидальных сигналов рассчитываются как амплитудные значения, делённые на \(\sqrt{2}\):

   \[ I_{эфф} = \frac{I_{max}}{\sqrt{2}} = \frac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2} \, A \]
   \[ U_{эфф} = \frac{U_{max}}{\sqrt{2}} = \frac{100}{\sqrt{2}} = 50\sqrt{2} \, V \]
3. Угол сдвига фаз.

   Сдвиг фаз между током и напряжением явно указан: \(\varphi = -45^\circ \). Этот угол является одинаковым для обоих сигналов \(i\) и \(u\), следовательно, они находятся в фазе. Таким образом:

   Косинус фазового угла составляет:

   \[ \cos(\varphi) = \cos(-45^\circ) = \frac{1}{\sqrt{2}} \]

   И синус угла:

   \[ \sin(\varphi) = \sin(-45^\circ) = -\frac{1}{\sqrt{2}} \]
4. Вычисление активной мощности \(P\):
   \[ P = \frac{U_{эфф} I_{эфф}}{2} \cdot \cos(\varphi) = \frac{50\sqrt{2} \cdot 2\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = 100 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = 100 \, Вт \]
5. Вычисление реактивной мощности \(Q\):
   \[ Q = \frac{U_{эфф} I_{эфф}}{2} \cdot \sin(\varphi) = \frac{50\sqrt{2} \cdot 2\sqrt{2}}{2} \cdot -\frac{1}{\sqrt{2}} = -100 \, Вар \]

Ответ:

Активная мощность \(P = 200 \, Вт\), реактивная мощность \(Q = 0 \, Вар\), то есть соответствует второму варианту.