Необходимо найти сигнал на выходе цепи

Предмет: Электротехника
Раздел: Переходные процессы в линейных электрических цепях (временной анализ цепей с реактивными элементами)

Условие задачи:

На вход RL-цепи подаётся одиночный прямоугольный импульс длительностью [ \tau_i = 10\ \mu\text{с} ] и амплитудой [ U_m = 1\ \text{В} ]. Необходимо найти сигнал на выходе цепи.

Подход к решению:

Рассмотрим последовательную RL-цепь, состоящую из резистора [ R ] и индуктивности [ L ], на вход которой подаётся прямоугольный импульс. Мы будем искать напряжение на резисторе, т.е. выходной сигнал, как отклик цепи на входной импульс.

Входной сигнал:  u_{\text{вх}}(t) = \begin{cases} U_m, & 0 \leq t < \tau_i \ 0, & t \geq \tau_i \end{cases} 

Рассмотрим два интервала:

1. Интервал [0 ≤ t < τᵢ]: Подача постоянного напряжения

В этот момент на вход подаётся постоянное напряжение [ U_m ]. Дифференциальное уравнение для тока в цепи:

 L \frac{di(t)}{dt} + R i(t) = U_m 

Это линейное дифференциальное уравнение первого порядка. Решим его.

Общее решение:

Решение состоит из двух частей: частное решение стационарного уравнения и общее решение однородного уравнения.

• Частное решение: [ i_{\text{ч}}(t) = \frac{U_m}{R} ]
• Однородное уравнение: [ \frac{di}{dt} + \frac{R}{L}i = 0 ], решение: [ i_{\text{о}}(t) = A e^{-\frac{R}{L}t} ]

Суммарный ток:  i(t) = \frac{U_m}{R} \left(1 - e^{-\frac{R}{L}t} \right) 

Тогда напряжение на резисторе (выходной сигнал):  u_{\text{вых}}(t) = R i(t) = U_m \left(1 - e^{-\frac{R}{L}t} \right), \quad 0 \leq t < \tau_i 

2. Интервал [t ≥ τᵢ]: Сигнал отключается

На входе напряжение становится нулевым. Теперь уравнение:

 L \frac{di(t)}{dt} + R i(t) = 0 

Начальное условие: ток к моменту [ t = \tau_i ] равен [ i(\tau_i) = \frac{U_m}{R} \left(1 - e^{-\frac{R}{L} \tau_i} \right) ]

Решение:  i(t) = i(\tau_i) \cdot e^{-\frac{R}{L}(t - \tau_i)} 

Тогда напряжение на резисторе:  u_{\text{вых}}(t) = R i(t) = U_m \left(1 - e^{-\frac{R}{L} \tau_i} \right) e^{-\frac{R}{L}(t - \tau_i)}, \quad t \geq \tau_i 

Окончательный ответ:

Выходной сигнал [ u_{\text{вых}}(t) ] имеет вид:

 u_{\text{вых}}(t) = \begin{cases} U_m \left(1 - e^{-\frac{R}{L}t} \right), & 0 \leq t < \tau_i \ U_m \left(1 - e^{-\frac{R}{L} \tau_i} \right) e^{-\frac{R}{L}(t - \tau_i)}, & t \geq \tau_i \end{cases} 

Если известны значения [ R ] и [ L ], можно подставить и получить численное выражение. Если нет — это и есть аналитическое решение задачи.