Найти производные по времени для тока через катушку и напряжения на конденсаторе в начальный момент времени

На схеме изображена электрическая цепь, содержащая источник напряжения, резисторы, катушку индуктивности и конденсатор. Необходимо найти производные по времени для тока через катушку и напряжения на конденсаторе в начальный момент времени, (t = 0^+).

Основные уравнения цепи:

1. Закон Кирхгофа для контуров цепи.
2. Уравнения для катушки индуктивности и конденсатора.

Уравнение для катушки: I_L'(t) = \frac{1}{L}(V - R \cdot I_L(t))\

Где (L = 0.2 \, \text{Гн}).

Возьмем контур, содержащий катушку и два резистора: [ 48 \, \text{В} - 8 \, \text{Ом} \cdot i_L - 16 \, \text{Ом} \cdot i_L = 0.2 \, \text{Гн} \cdot \frac{di_L}{dt} ]

Решаем уравнение: [ \frac{di_L}{dt} = \frac{48}{0.2} - \frac{24i_L}{0.2} = 240 - 120i_L ]

В начальный момент времени предполагаем (i_L(0^+) = 0): [ \frac{di_L}{dt}(0^+) = 240 \, \text{А/с} ]

Уравнение для конденсатора:  \frac{du_c}{dt} = \frac{i_C}{C} 

Где (C = 4 \, \text{мкФ} = 4 \times 10^{-6} \, \text{Ф}).

Ток через конденсатор равен разности токов через источники: [ i_C = i_L ]

В начальный момент напряжение на конденсаторе равно источнику: [ u_C(0^+) = 64 - 48 = 16 \, \text{В} ]

С учетом этого: [ \frac{du_C}{dt} = \frac{i_L}{4 \times 10^{-6}} ]

Но в начальный момент времени (i_L(0^+) = 0): [ \frac{du_C}{dt}(0^+) = 0 \, \text{В/с} ]

• (\frac{di_L}{dt}(0^+) = 240 \, \text{А/с})
• (\frac{du_C}{dt}(0^+) = 0 \, \text{В/с})

Итак, окончательные производные: