Найти мгновенное значение тока через ёмкость

Данный вопрос относится к разделу электротехники, а точнее к теме переменных токов и ёмкостных цепей.

Условие:

На конденсаторе с ёмкостью \( C = 15.9 \, \mu\text{Ф} \) (это \( C = 15.9 \times 10^{-6} \, Ф \)) известно напряжение \( u_C = 220 \sin(314t + 30^\circ) \). Нужно найти мгновенное значение тока через ёмкость.

Решение:

1. Формула тока через ёмкость: Известно, что ток через ёмкость можно вычислить как производную напряжения на ёмкости: \[ i_C(t) = C \frac{du_C(t)}{dt} \]
2. Определим производную от напряжения:

   Напряжение на конденсаторе дано как \( u_C(t) = 220 \sin(314t + 30^\circ) \). Теперь найдем его производную:

   \( u_C(t) = 220 \sin(314t + 30^\circ) \)

   Производная от синуса:

   \[ \frac{d}{dt}\sin(\omega t + \varphi) = \omega \cos(\omega t + \varphi) \]

   Следовательно:

   \[ \frac{du_C(t)}{dt} = 220 \times 314 \cos(314t + 30^\circ) \]

   \[ \frac{du_C(t)}{dt} = 69080 \cos(314t + 30^\circ) \]

3. Рассчитаем ток: Теперь подставим выражение для производной напряжения в формулу для тока:

   \[ i_C(t) = C \frac{du_C(t)}{dt} \]

   У нас \( C = 15.9 \times 10^{-6} \, Ф \), подставляем:

   \[ i_C(t) = 15.9 \times 10^{-6} \times 69080 \cos(314t + 30^\circ) \]

   \[ i_C(t) = 1.098 \cos(314t + 30^\circ) \]

Ответ:

Мгновенное значение тока через ёмкость: \[ i_C(t) = 1.098 \cos(314t + 30^\circ) \, \text{А} \]