Найти: Фазные токи и ток в нейтральном проводе, мощности, поглощаемые каждым приемником и всей цепью

Предмет: Электротехника
Раздел: Трёхфазные цепи, расчёт токов и мощностей в трёхфазных системах

Дано:

• Симметричная трёхфазная сеть с линейным напряжением U = 400\,\text{В}
• Приёмники подключены звездой
• Сопротивления фаз:
  Z_a = j20\,\Omega, \quad Z_b = 20\,\Omega, \quad Z_c = j20\,\Omega
  (Обратите внимание, в условии сопротивления обозначены как Zab, Zd, Zc, предполагаю, что это соответственно фазы a, b, c)

Шаг 1. Найдём фазные напряжения

Для звезды фазное напряжение U_{ф} = \frac{U_{л}}{\sqrt{3}}, где U_{л} = 400\,\text{В} — линейное напряжение.

 U_{ф} = \frac{400}{\sqrt{3}} \approx 230.94\,\text{В} 

Фазные напряжения (с учётом симметрии и углов сдвига) можно записать как:
 U_a = U_{ф} \angle 0^\circ, \quad U_b = U_{ф} \angle -120^\circ, \quad U_c = U_{ф} \angle 120^\circ 

Шаг 2. Найдём фазные токи

Ток фазы определяется по закону Ома:
 I_{ф} = \frac{U_{ф}}{Z_{ф}} 

Для каждой фазы:

• Фаза a:
   I_a = \frac{230.94 \angle 0^\circ}{j20} = \frac{230.94 \angle 0^\circ}{20 \angle 90^\circ} = 11.547 \angle -90^\circ\,\text{А} 

• Фаза b:
   I_b = \frac{230.94 \angle -120^\circ}{20 \angle 0^\circ} = 11.547 \angle -120^\circ\,\text{А} 

• Фаза c:
   I_c = \frac{230.94 \angle 120^\circ}{j20} = \frac{230.94 \angle 120^\circ}{20 \angle 90^\circ} = 11.547 \angle (120^\circ - 90^\circ) = 11.547 \angle 30^\circ\,\text{А} 

Шаг 3. Найдём ток нейтрали

Ток в нейтрали равен сумме фазных токов (с учётом знаков):
 I_N = I_a + I_b + I_c 

Подставим значения:
 I_a = 11.547 \angle -90^\circ = 0 - j11.547 
 I_b = 11.547 \angle -120^\circ = -5.773 - j10.0 
 I_c = 11.547 \angle 30^\circ = 10.0 + j5.773 

Сложим:
 I_N = (0 - 5.773 + 10.0) + j(-11.547 - 10.0 + 5.773) = 4.227 - j15.774 

Модуль:
 |I_N| = \sqrt{4.227^2 + (-15.774)^2} \approx \sqrt{17.87 + 248.76} = \sqrt{266.63} \approx 16.33\,\text{А} 

Шаг 4. Найдём мощности, потребляемые каждым приёмником

Мощность фазы:
 S = U_{ф} I_{ф}^* = U_{ф} I_{ф} \angle -\varphi 
где \varphi — угол фазного сопротивления (угол сдвига тока относительно напряжения).

Для каждого сопротивления:

• Фаза a:
  Z_a = j20 \Rightarrow \varphi_a = +90^\circ
  I_a = 11.547 \angle -90^\circ
  Угол \varphi_a совпадает с углом тока относительно напряжения (0°), значит мощность:
   S_a = U_{ф} I_a \angle \varphi_a = 230.94 \times 11.547 \angle (0 - (-90)) = 2667.6 \angle 90^\circ \, \text{ВА} 
  Активная мощность:
  P_a = S_a \cos 90^\circ = 0\,\text{Вт}
  Реактивная мощность:
  Q_a = S_a \sin 90^\circ = 2667.6\,\text{Вар}

• Фаза b:
  Z_b = 20 \Rightarrow \varphi_b = 0^\circ
  I_b = 11.547 \angle -120^\circ
  Мощность:
   S_b = 230.94 \times 11.547 \angle (0 - 0) = 2667.6 \angle 0^\circ \, \text{ВА} 
  Активная мощность:
  P_b = 2667.6\,\text{Вт}
  Реактивная мощность:
  Q_b = 0\,\text{Вар}

• Фаза c:
  Z_c = j20 \Rightarrow \varphi_c = +90^\circ
  I_c = 11.547 \angle 30^\circ
  Мощность:
   S_c = 230.94 \times 11.547 \angle (0 - 30^\circ) = 2667.6 \angle -30^\circ \, \text{ВА} 
  Активная мощность:
  P_c = 2667.6 \cos(-30^\circ) = 2667.6 \times 0.866 = 2310.7\,\text{Вт}
  Реактивная мощность:
  Q_c = 2667.6 \sin(-30^\circ) = -1333.8\,\text{Вар}

Шаг 5. Найдём суммарные мощности

Активная мощность всей цепи:
 P = P_a + P_b + P_c = 0 + 2667.6 + 2310.7 = 4978.3\,\text{Вт} 

Реактивная мощность всей цепи:
 Q = Q_a + Q_b + Q_c = 2667.6 + 0 - 1333.8 = 1333.8\,\text{Вар} 

Полная мощность:
 S = \sqrt{P^2 + Q^2} = \sqrt{4978.3^2 + 1333.8^2} \approx 5150\,\text{ВА} 

Итог:

• Фазные токи:
   I_a = 11.55 \angle -90^\circ\,\text{А}, \quad I_b = 11.55 \angle -120^\circ\,\text{А}, \quad I_c = 11.55 \angle 30^\circ\,\text{А} 
• Ток нейтрали:
   I_N = 16.33\,\text{А} 
• Мощности по фазам:
   P_a = 0\,\text{Вт}, Q_a = 2667.6\,\text{Вар} 
   P_b = 2667.6\,\text{Вт}, Q_b = 0\,\text{Вар} 
   P_c = 2310.7\,\text{Вт}, Q_c = -1333.8\,\text{Вар} 
• Суммарная мощность:
   P = 4978.3\,\text{Вт}, \quad Q = 1333.8\,\text{Вар}, \quad S = 5150\,\text{ВА} 

Если что-то непонятно или нужно подробнее разобрать — спрашивайте!