Анализ электрических цепей постоянного тока

Предмет: Электротехника

Раздел: Анализ электрических цепей постоянного тока

Для решения задачи используется метод контурных токов. В цепи три контура. Обозначим токи в контурах как I_1, I_2 и I_3. Задача заключается в нахождении тока через резистор R_4, который равен I_4.

Дано:

• E_1 = 22 \, \text{В},
• E_2 = 79 \, \text{В},
• R_4 = 7 \, \text{Ом},
• R_2 = 64 \, \text{Ом},
• R_3 = 98 \, \text{Ом}.

Решение:

1. Обозначение контуров:

1. Первый контур: содержит E_1, R_3 и R_4.
2. Второй контур: содержит R_4, R_2 и E_2.
3. Третий контур: содержит R_3, R_4.

2. Уравнения по законам Кирхгофа:

Составим уравнения для контуров, учитывая направления токов.

1. Для первого контура: E_1 - I_1 R_3 - (I_1 - I_2) R_4 = 0.

2. Для второго контура: E_2 - I_2 R_2 - (I_2 - I_1) R_4 = 0.

3. Для третьего контура (через R_4): I_4 = I_1 - I_2.

3. Подстановка значений:

Подставим известные значения:

1. 22 - I_1 \cdot 98 - (I_1 - I_2) \cdot 7 = 0,
2. 79 - I_2 \cdot 64 - (I_2 - I_1) \cdot 7 = 0,
3. I_4 = I_1 - I_2.

Приведем уравнения к стандартному виду:

1. 22 - 98 I_1 - 7 I_1 + 7 I_2 = 0 \quad \Rightarrow \quad 105 I_1 - 7 I_2 = 22,
2. 79 - 64 I_2 - 7 I_2 + 7 I_1 = 0 \quad \Rightarrow \quad 7 I_1 - 71 I_2 = -79.

4. Решение системы уравнений:

Решим систему линейных уравнений:  \begin{cases} 105 I_1 - 7 I_2 = 22, \ 7 I_1 - 71 I_2 = -79. \end{cases} 

Умножим второе уравнение на 15 для удобства:  \begin{cases} 105 I_1 - 7 I_2 = 22, \ 105 I_1 - 1065 I_2 = -1185. \end{cases} 

Вычтем первое уравнение из второго: (-7 + 1065) I_2 = -1185 - 22 \quad \Rightarrow \quad 1058 I_2 = -1207 \quad \Rightarrow \quad I_2 = -\frac{1207}{1058} \approx -1.14 \, \text{А}.

Подставим I_2 в первое уравнение: 105 I_1 - 7 (-1.14) = 22 \quad \Rightarrow \quad 105 I_1 + 7.98 = 22 \quad \Rightarrow \quad 105 I_1 = 14.02 \quad \Rightarrow \quad I_1 = \frac{14.02}{105} \approx 0.13 \, \text{А}.

5. Нахождение I_4:

I_4 = I_1 - I_2 = 0.13 - (-1.14) \approx 1.27 \, \text{А}.

Ответ:

Ток через резистор R_4 равен I_4 \approx 1.27 \, \text{А}.