Анализ электрических цепей (метод контурных токов, закон Кирхгофа)

Предмет: Электротехника

Раздел: Анализ электрических цепей (метод контурных токов, закон Кирхгофа)

Дано:

• ( R_1 = 300 ) Ом
• ( R_2 = 200 ) Ом
• ( R_3 = 100 ) Ом
• ( R_4 = 400 ) Ом
• ( R_5 = 100 ) Ом
• ( \mathcal{E}_1 = \mathcal{E}_2 = 100 ) В

Требуется найти ток через резистор ( R_3 ).

Решение с использованием метода контурных токов

Обозначим контурные токи:

• ( I_1 ) — ток в левом контуре (по часовой стрелке)
• ( I_2 ) — ток в правом контуре (по часовой стрелке)

Ток через резистор ( R_3 ) определяется разностью контурных токов:
I_3 = I_1 - I_2

Запишем уравнения по первому закону Кирхгофа для контуров

Для левого контура: \mathcal{E}_1 - I_1 R_1 - I_1 R_2 + I_2 R_2 - I_3 R_3 = 0

Подставляя ( I_3 = I_1 - I_2 ), получаем: 100 - 300 I_1 - 200 I_1 + 200 I_2 - 100 (I_1 - I_2) = 0
100 - 600 I_1 + 300 I_2 = 0
600 I_1 - 300 I_2 = 100
6 I_1 - 3 I_2 = 1 (Уравнение 1)

Для правого контура: \mathcal{E}_2 - R_4 I_2 - R_5 I_2 - R_3 (I_2 - I_1) = 0

Подставляя значения: 100 - 400 I_2 - 100 I_2 - 100 (I_2 - I_1) = 0
100 - 600 I_2 + 100 I_1 = 0
100 I_1 - 600 I_2 = -100
I_1 - 6 I_2 = -1 (Уравнение 2)

Решаем систему уравнений:

1. 6 I_1 - 3 I_2 = 1
2. I_1 - 6 I_2 = -1

Выразим ( I_1 ) из второго уравнения: I_1 = 6 I_2 - 1

Подставляем в первое уравнение: 6(6 I_2 - 1) - 3 I_2 = 1
36 I_2 - 6 - 3 I_2 = 1
33 I_2 = 7
I_2 = \frac{7}{33} \approx 0.212 \text{ А}

Теперь найдем ( I_1 ): I_1 = 6 \times \frac{7}{33} - 1
I_1 = \frac{42}{33} - 1 = \frac{42}{33} - \frac{33}{33} = \frac{9}{33} \approx 0.273 \text{ А}

Тогда ток через ( R_3 ): I_3 = I_1 - I_2 = \frac{9}{33} - \frac{7}{33} = \frac{2}{33} \approx 0.061 \text{ А}

Ответ:

Ток через резистор ( R_3 ) равен 0.061 А (или 61 мА).