Определите критическое напряжение потери устойчивости для стержня

Предмет: Сопротивление материалов
Раздел: Теория устойчивости (потери устойчивости стержней)

Дано:
Длина стержня L = 3000 \text{ мм} = 3 \text{ м}
Внешний радиус сечения R = 40 \text{ мм}
Внутренний радиус сечения r = 36 \text{ мм}
Модуль упругости E = 70000 \text{ МПа}
Предел текучести \sigma_t = 180 \text{ МПа}

Шаг 1. Определение момента инерции сечения

Сечение — тонкостенная кольцевая труба. Момент инерции относительно оси изгиба вычисляется по формуле:
 I = \frac{\pi}{4} (R^4 - r^4) 

Подставим значения (в мм, потом переведем в м):
 I = \frac{\pi}{4} (40^4 - 36^4) \text{ мм}^4 

Вычислим:
 40^4 = 40^2 \times 40^2 = 1600 \times 1600 = 2\,560\,000 
 36^4 = 36^2 \times 36^2 = 1296 \times 1296 = 1\,679\,616 

Тогда:
 I = \frac{\pi}{4} (2\,560\,000 - 1\,679\,616) = \frac{\pi}{4} \times 880\,384 \approx 0.7854 \times 880\,384 = 691\,151 \text{ мм}^4 

Переводим \text{мм}^4 в \text{м}^4:
 1 \text{ мм} = 10^{-3} \text{ м} \Rightarrow 1 \text{ мм}^4 = 10^{-12} \text{ м}^4 
Следовательно:
 I = 691\,151 \times 10^{-12} = 6.9115 \times 10^{-7} \text{ м}^4 

Шаг 2. Определение радиуса инерции сечения

Радиус инерции i определяется как:
 i = \sqrt{\frac{I}{A}} 

Где A — площадь сечения кольца:
 A = \pi (R^2 - r^2) 

Вычислим площадь:
 R^2 = 40^2 = 1600, \quad r^2 = 36^2 = 1296 
 A = \pi (1600 - 1296) = \pi \times 304 = 954.93 \text{ мм}^2 

Переводим в \text{м}^2:
 A = 954.93 \times 10^{-6} = 9.5493 \times 10^{-4} \text{ м}^2 

Теперь радиус инерции:
 i = \sqrt{\frac{6.9115 \times 10^{-7}}{9.5493 \times 10^{-4}}} = \sqrt{7.237 \times 10^{-4}} = 0.0269 \text{ м} = 26.9 \text{ мм} 

Шаг 3. Определение критической нагрузки по формуле Эйлера

Для стержня с шарнирно-защемленными концами (один конец заделан, другой шарнирно оперт) коэффициент эффективной длины:
 k = 0.7 

Эффективная длина:
 L_{эфф} = k L = 0.7 \times 3 = 2.1 \text{ м} 

Критическая сила потери устойчивости (формула Эйлера):
 P_{кр} = \frac{\pi^2 E I}{L_{эфф}^2} 

Подставляем:
 P_{кр} = \frac{\pi^2 \times 70\,000 \times 10^6 \times 6.9115 \times 10^{-7}}{(2.1)^2} 

Выполним вычисления:
 P_{кр} = \frac{9.8696 \times 7 \times 10^{10} \times 6.9115 \times 10^{-7}}{4.41} = \frac{9.8696 \times 7 \times 6.9115 \times 10^{3}}{4.41} 

Считаем числитель:
 9.8696 \times 7 = 69.087, \quad 69.087 \times 6.9115 = 477.7 

Итого:
 P_{кр} = \frac{477.7 \times 10^3}{4.41} = 108,300 \text{ Н} = 108.3 \text{ кН} 

Шаг 4. Определение критического напряжения

Критическое напряжение — это нагрузка, делённая на площадь сечения:
 \sigma_{кр} = \frac{P_{кр}}{A} = \frac{108,300}{9.5493 \times 10^{-4}} = 1.134 \times 10^{8} \text{ Па} = 113.4 \text{ МПа} 

Итог:

Критическое напряжение потери устойчивости для данного стержня:
 \boxed{\sigma_{кр} \approx 113.4 \text{ МПа}} 

Комментарий:

Критическое напряжение меньше предела текучести \sigma_t = 180 \text{ МПа}, значит стержень потеряет устойчивость до наступления пластической деформации.