Определите диаметр сплошного вала, передающего крутящий момент 1.5 т∙м, если допускаемое касательное напряжение для материала вала равно 70 МПа

Предмет: Механика материалов
Раздел: Прочность материалов, расчет на кручение

Дано:

• Крутящий момент Т = 1.5 \text{ т} \cdot \text{м}
• Допускаемое касательное напряжение \tau_{\text{доп}} = 70 \text{ МПа}
• Ускорение свободного падения g = 9.81 \text{ м/с}^2

Задача: Найти диаметр сплошного вала d.

Шаг 1. Перевод крутящего момента в систему СИ (Н·м)

1 тонна (т) = 1000 кг
Вес в ньютонах: F = m \cdot g = 1000 \cdot 9.81 = 9810 \text{ Н}

Таким образом, крутящий момент в Н·м:
 T = 1.5 \text{ т} \cdot \text{м} = 1.5 \times 9810 = 14715 \text{ Н·м} 

Шаг 2. Формула для касательного напряжения при кручении

Для сплошного круглого вала касательное напряжение определяется по формуле:
 \tau = \frac{T \cdot r}{J} 

где

• r = \frac{d}{2} — радиус вала,
• J = \frac{\pi d^4}{32} — момент инерции сечения вала относительно оси кручения.

Подставим r и J в формулу:
 \tau = \frac{T \cdot \frac{d}{2}}{\frac{\pi d^4}{32}} = \frac{16 T}{\pi d^3} 

Шаг 3. Определение диаметра вала

Выразим d из формулы:
 d^3 = \frac{16 T}{\pi \tau} 

Подставим числовые значения:
 d^3 = \frac{16 \times 14715}{\pi \times 70 \times 10^6} 

Обратите внимание, что напряжение в МПа = 10^6 \text{ Па}, а момент в Н·м.

Вычислим:
 d^3 = \frac{235440}{219911485} \approx 0.00107 \text{ м}^3 

Извлечем кубический корень:
 d = \sqrt[3]{0.00107} \approx 0.102 \text{ м} = 102 \text{ мм} 

Ответ:

Диаметр сплошного вала должен быть примерно 102 \text{ мм}, чтобы не превышать допускаемое касательное напряжение 70 МПа при крутящем моменте 1.5 т·м.